§12.5数学归纳法1．数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设____________(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当____________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有__________都成立．2．数学归纳法的适用范围数学归纳法主要用于解决与________有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可．自查自纠1．(2)n＝kn＝k＋1正整数n2．正整数用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式()A．1＋<2B．1＋＋<2C．1＋＋<3D．1＋＋＋<3解： n∈N*，n>1，∴n取的第一个数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.B.C.＋D.－解：f(n＋1)－f(n)＝[＋＋…＋＋＋]－＝＋－＝－.故选D.()设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k＋1成立时，总可推出f(k＋1)≥k＋2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立解：根据题意，若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4)，即f(k)≥k＋1(k≥5)．综合f(4)≥5，可知当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立．故选D.已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝____________．解法一：通过变化规律猜测Sn＝.解法二：Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.故填.用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，等式的左边需要增乘的代数式是____________．解：当n＝k时，等式左边＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，等式左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋1＋k＋1)＝＝2(2k＋1)(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)．观察、比较可知，从n＝k到n＝k＋1，等式的左边需要增乘的代数式是2(2k＋1)．故填2(2k＋1)．类型一证明等式证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么，当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋.根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．【点拨】用数学归纳法证明与正整数n有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，即可证明待证等式．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．证明：①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．类型二证明不等式已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)
