章末综合测评(三)导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f(x)＝α2－cosx，则f′(α)等于()A．sinαB．cosαC．2α＋sinαD．2α－sinα【解析】f′(x)＝(α2－cosx)′＝sinx，当x＝α时，f′(α)＝sinα.【答案】A2．若曲线y＝在点P处的切线斜率为－4，则点P的坐标是()A.B.或C.D.【解析】y′＝－，由－＝－4，得x2＝，从而x＝±，分别代入y＝，得P点的坐标为或.【答案】B3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，归纳可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)【解析】观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．【答案】D4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0【解析】由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.故选B.【答案】B5．已知函数f(x)＝xlnx，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于()A．1B．－1C．±1D．不存在【解析】因为f(x)＝xlnx，所以f′(x)＝lnx＋1，于是有x0lnx0＋lnx0＋1＝1，解得x0＝1或x0＝－1(舍去)，故选A.【答案】A6．过点(0,1)且与曲线y＝在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为()【导学号：26160104】A．2x＋y－1＝0B．x－2y＋2＝0C．x＋2y－2＝0D．2x－y＋1＝0【解析】y′＝′＝＝，∴y′|x＝3＝－，故与切线垂直的直线斜率为2，所求直线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.故选D.【答案】D7.已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则y＝f(x)()图1A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取得极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值【解析】在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．【答案】C8．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．a＞B．a≥C．a＜D．a≤【解析】f′(x)＝3ax2－2x＋1在(－∞，＋∞)上恒非负，故解得a≥.【答案】B9．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A．10B．15C．25D．50【解析】设内接矩形的长为x，则宽为，∴S2＝x2·＝y，∴y′＝50x－x3.令y′＝0，得x2＝50或x＝0(舍去)，∴S＝625，即Smax＝25.【答案】C10．函数y＝的最大值为()A．e－1B．eC．e2D.【解析】y′＝＝，令y′＝0，得x＝e.当x>e时，y′<0；当00.故y极大值＝f(e)＝e－1.因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.【答案】A11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)>2f(1)C．f(0)＋f(2)≤2f(1)D．f(0)＋f(2)≥2f(1)【解析】①若f′(x)不恒为0，则当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，所以f(x)在(1，＋∞)内单调递增，在(－∞，1)内单调递减．所以f(2)>f(1)，f(1)2f(1)．②若f′(x)＝0恒成立，则f(2)＝f(0)＝f(1)，综合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1)．【答案】D12．若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)＞－xf′(x)，则一定有()A．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为增函数B．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为减函数C．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数【解析】设G(x)＝xf(x)，则G′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，故G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上递增，故选C.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间为________．【解析】令f′(x)＝－1＞0，解不等式即可解得x＜1，注意定义域为(0，＋∞)．所以0＜x＜1.【答案】(0,1)14．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．【解析】f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(...
