三角函数的周期性一、考点突破知识点课标要求题型说明三角函数的周期性1.理解周期函数的定义；2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期；3.会求函数y＝sin（ωx＋φ）和y＝cos（ωx＋φ）的周期。填空解答高考必考周期性是三角型函数的重要性质，也是我们在所学的基本初等函数中唯一具备这一特性的函数。在解答题中往往出现在第1步，较为简单。客观题往往与图象等结合考查。二、重难点提示重点：求函数的周期、利用周期求函数值。难点：对定义的理解及定义的简单应用。一、周期函数的定义一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。【要点诠释】函数周期性的理解：①定义应对定义域中的每一个值来说，只有个别的值满足f（x＋T）＝f（x）或不满足，都不能说T是f（x）的周期。②从f（x＋T）＝f（x）来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如f（2x＋T）＝f（2x）中，T不是周期，而应写成，则是f（x）的周期。③对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。④并不是所有的周期函数都存在最小正周期。例如常数函数为常数），其周期是任意实数，没有最小正数。⑤周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f（x）的周期，那么kT（k∈Z，k≠0）也一定是函数的周期。【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？（1）首先看定义域若是定义域D内的一个值，则也一定属于定义域D，因此周期函数的定义域D一定是无限集，而且定义域D一定无上界且无下界。（2）其次看恒等式是否成立对于定义域D内任意一个，是否有恒成立。如果成立，则是周期函数。否则，不是周期函数。二、的周期一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝。【规律总结】求三角函数的周期，通常有三种方法。（1）定义法；（2）公式法，对y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0），T＝；（3）图象法。三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1。示例：已知函数的周期为3，则。思路分析：利用y＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0）的最小正周期为T＝这一结论解决。答案：由题得，则技巧点拨：在运用公式法求周期时不要忽略绝对值。例题1（求三角函数的周期）求下列函数的周期：（1）y＝3sin（x＋）；（2）y＝2cos（－＋）；（3）y＝|sinx|。思路分析：利用公式法或定义法求解即可。若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期。答案：（1）T＝＝＝4。（2）y＝2cos（－＋）＝2cos（－），∴T＝＝4π。（3）由y＝sinx的周期为2π，可猜想y＝|sinx|的周期应为π。验证： |sin（x＋π）|＝|－sinx|＝|sinx|，∴由周期函数的定义知y＝|sinx|的周期是π。例题2（函数周期性的判断）设函数y＝f（x），x∈R，若函数y＝f（x）为偶函数并且图象关于直线x＝a（a≠0）对称，求证：函数y＝f（x）为周期函数。思路分析：要证函数y＝f（x）是周期函数，就是要找到一个常数T（T≠0），使得对于任意实数x，都有f（x＋T）＝f（x），可根据y＝f（x）的奇偶性与对称性推导证明。答案：由y＝f（x）的图象关于x＝a对称得f（2a－x）＝f（x），∴f（2a＋x）＝f（－x）， f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（2a＋x）＝f（x），∴f（x）是以2a为周期的函数。【重要提示】1.判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T满足f（x＋T）＝f（x）对定义域中一切x都成立。2.若函数f（x）对定义域内的一切实数x满足f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝或f（x＋a）＝－，则f（x）都是周期函数，且2a为它的一个周期，这里a为非零常数。函数周期性概念理解不透彻致误【满分训练】判断函数y＝cos4x，x∈[－π，π]是否为最小正周期为的周期函数，若不是，...
