考点规范练15导数与函数的单调性、极值、最值一、基础巩固1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)答案D解析函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.2.(2018广东东莞考前冲刺)若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0答案A解析 x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,∴f'(1)=0,∴a+11=0,∴a=-1.∴f'(x)=-1+1x=0⇒x=1.当x>1时,f'(x)<0,当0
0,因此f(x)有极大值-1.3.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x),满足f(x)2ex的解集为()A.(-∞,0)B.(-∞,2)C.(0,+∞)D.(2,+∞)答案C解析设g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex. f(x)0,即函数g(x)在定义域内单调递增. f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,∴不等式f(x)>2ex等价于g(x)>g(0). 函数g(x)在定义域内单调递增.∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C.4.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案D解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<00,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.5.已知函数f(x)=-12x2+4x-3lnx在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是.答案(0,1)∪(2,3)解析由题意知f'(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x.由f'(x)=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<10解得01,即函数g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.当a>0时,令g'(x)=0,得x=1或x=12a,若12a<1,即a>12,则由g'(x)>0解得x>1或01,即00解得x>12a或012时,函数g(x)在(0,12a)内单调递增,在(12a,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.7.已知函数f(x)=ax2+bx+cex(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值.解(1)因为f(x)=ax2+bx+cex,所以f'(x)=-ax2+(2a-b)x+b-cex,设g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c.因为a>0,所以由题意知:当-30,即f'(x)>0;当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,故有9a-3b+ce-3=-e3.结合g(0)=b-c=0,g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)=x2+5x+5ex.因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,且f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值为f(-5)和f(0)中的最大者.而f(-5)=5e-5=5e5>5=f(0),所以函数f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值是5e5.8.已知函数f(x)=xex-a(x22+x)(a∈R).(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)的单调性.解(1)当a=1时,f(x)=xex-(x22+x),f'(x)=ex+xex-(x+1)=(x+1)(ex-1),令f'(x)=0,得x=-1或x=0.x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗↘↗当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=12−1e;当x=0时,f(x)有极小值f(0)=0...
