山东省济宁市高考数学专题复习 第48讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布练习 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布[考情展望]1.以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值、方差的求解.2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.3.考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．一、离散型随机变量的均值与方差及其性质1．定义：若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n.(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．(2)方差：称D(X)＝∑(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)(3)两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)X～B(n，p)E(X)＝npD(X)＝np(1－p)求均值、方差的方法1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．二、正态分布1．正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态曲线．2．正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态总体三个基本概率值(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X＜a)＝1－P(x≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)．1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84【解析】 P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.【答案】A2．已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.B．4C．－1D．1【解析】E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.【答案】A3．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45【解析】 X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴【答案】A4．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．【解析】依题意得即由此解得y＝0.4.【答案】0.45．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)＝()A.B．2C.D．3【解析】把数据代入随机变量的数学期望公式进行计算即可．E(X)＝1×＋2×＋3×＝，选A.【答案】A6．(2013·湖北高考)如图10－9－1，将一个各面图10－9－1都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()A.B.C.D.【解析】先求出随机变量X的分布列，然后利用均值的计算公式求得E(X)．依题意得X的取值可能为0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.【答案】B考向一[195]正态分布设随机变量X～N(3,1)，若P(x＞4)＝p，则P(2＜x＜4)＝()A.＋pB．1－pC．1－2pD.－p【思路点拨】根据正态曲线的对称性求解．【尝试解答】 随机变量X～N(3,1)，观察图得，P(2＜X＜4)＝1－2P(X＞4)＝1－2p.【答案】C...