第一章算法初步1.3算法案例A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数为()①辗转相除法也叫欧几里得算法；②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；③求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1B．2C．3D．4解析：依据辗转相除法可知，①②④正确，③错误．答案：C2．用更相减损术求48和132的最大公约数时，需做减法的次数是()A．2B．3C．4D．5解析：132－48＝84，84－48＝36，48－36＝12，36－12＝24，24－12＝12.答案：D3．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A．4，2B．5，3C．5，2D．6，2解析：f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要做5次乘法运算和2次加减运算．答案：C4．已知一个k进制的数123与十进制的数38相等，那么k等于()A．7或5B．－7C．5D．都不对解析：(123)(k)＝1×k2＋2×k＋3＝k2＋2k＋3，所以k2＋2k＋3＝38，即k2＋2k－35＝0.解得k＝5或k＝－7(舍去)．答案：C5．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E＋D＝1B，则A×B等于()A．6EB．72C．5FD．B0解析：A×B用十进制可以表示为10×11＝110，而110＝6×16＋14，所以用十六进制表示为6E.答案：A二、填空题6．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝________．解析：f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2；v1＝2×3＋0＝6；v2＝6×3＋1＝19.答案：197．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，则f(10)＝________．解析：f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝[(x－2)x－5]x＋6.当x＝10时，f(10)＝[(10－2)×10－5]×10＋6＝(8×10－5)×10＋6＝75×10＋6＝756.答案：7568．三进制数2022(3)化为六进制数为abc(6)，则a＋b＋c＝________.解析：2022(3)＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62.三进制数2022(3)化为六进制数为142(6)，所以a＋b＋c＝7.答案：7三、解答题9．分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数．解：辗转相除法：319＝261×1＋58，261＝58×4＋29，58＝29×2.所以319与261的最大公约数是29.更相减损术：319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，所以319与261的最大公约数是29.10．已知函数f(x)＝x3－3x2－4x＋5，试用秦九韶算法求f(2)的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝x3－3x2－4x＋5＝(x2－3x－4)x＋5＝((x－3)x－4)x＋5.把x＝2代入函数式得f(2)＝((2－3)×2－4)×2＋5＝－7.B级能力提升1．m是一个正整数，对于两个正整数a，b，如果a－b是m的倍数，则称a，b对模m同余，用符号ab(MODm)表示，则下列各式中不正确的为()A．127(MOD5)B．2110(MOD3)C．3420(MOD2)D．477(MOD40)解析：逐一验证，对于A，12－7＝5是5的倍数；对于B，21－10＝11不是3的倍数；对于C，34－20＝14是2的倍数；对于D，47－7＝40是40的倍数．答案：B2．324，243，135三个数的最大公约数是________．解析：324＝243×1＋81，243＝81×3，所以243与324的最大公约数是81.又135＝81×1＋54，81＝54×1＋27，54＝27×2＋0，所以135与81的最大公约数是27.答案：273．若二进制数10b1(2)和三进制a02(3)相等，求正整数a，b.解：因为10b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，所以2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7，因为a∈{1，2}，b∈{0，1}，所以当a＝1时，b＝1符合题意；当a＝2时，b＝不符合题意．所以a＝1，b＝1.
