吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|2x+1≥4}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）2．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3xD．∀x∈R，x2+1＞3x3．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S5=15，则a6等于（）A．8B．7C．6D．54．（5分）“λ＜1”是“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．36．（5分）设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（）A．B．﹣C．或﹣D．或7．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（）A．2π，x=B．2π，x=C．π，x=D．π，x=8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．ln2B．﹣ln2C．+ln2D．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2B．2C．4D．210．（5分）若f（x）的定义域为R，f′（x）＞2恒成立，f（﹣1）=2，则f（x）＞2x+4解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）111．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为（）A．（0，1]B．（0，e﹣2]C．[e﹣2，1]D．[1﹣，1]12．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．nB．2nC．（2n﹣1）D．（2n﹣1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=（x＞0）的最大值为．14．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=．15．（5分）函数f（x）=xln（ax）（a＜0）的递增区间是．16．（5分）已知数列{an}中，a1=2，a2=5，an=2an﹣1+3an﹣2（n≥3），则a20﹣3a19=．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10，2（an+an+2）=5an+1，n∈N*．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）令cn=1﹣（﹣1）nan，不等式ck≥2014（1≤k≤100，k∈N*）的解集为M，求所有ak（k∈M）的和．19．（12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．课程[来初等代数平面几何初等数论微积分初步2合格的概率（Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m，n是正数，且m≠n，求证...
