第六节对数与对数函数[考情展望]1.以选择、填空题的形式直接考查对数的运算性质.2.考查以对数函数为载体的复合函数的图象和性质.3.以比较大小或探求对数函数值域的方式考查对数函数的单调性.4.与导数等知识相结合考查相应函数的有关性质．一、对数与对数的运算性质1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.2．对数的性质、换底公式与运算性质性质①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N.换底公式logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).二、对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0;当x＞1时，y＞0.当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0.在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数迅速判断底数大小关系的方法如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．三、反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．互为反函数的两函数坐标间的关系若函数y＝f(x)图象上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数的图象上，反之，若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象上．1．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4【解析】2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.【答案】C2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于()A.B．2x－2C．logxD．log2x【解析】由题意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故选D.【答案】D3．如果logx＜logy＜0，那么()A．y＜x＜1B．x＜y＜1C．1＜x＜yD．1＜y＜x【解析】 y＝logx是(0，＋∞)上的减函数，∴x＞y＞1.【答案】D4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．【解析】函数f(x)的定义域为，令t＝2x＋1(t＞0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.【答案】5．(2013·江西高考)函数y＝ln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]【解析】因为y＝ln(1－x)，所以解得0≤x<1.【答案】B6．(2013·福建高考)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()【解析】f(x)＝ln(x2＋1)，x∈R，当x＝0时，f(0)＝ln1＝0，即f(x)过点(0,0)，排除B，D. f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故选A.【答案】A考向一[025]对数的运算(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n；(2)计算；(3)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)．【思路点拨】(1)根据乘法公式和对数运算性质进行计算；(2)将对数式化为指数式或直接代入求解．【尝试解答】(1)法一 loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.法二 loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝(am)2·an＝(aloga2)2·aloga3＝22×3＝12.(2)原式＝＝＝＝＝＝＝1.(3)原式＝·＝·＝·＝.规律方法11.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化简时必须保证恒等变形.2.ab＝N⇔b＝logaNa＞0且a≠1是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化.3.利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化.对点训练(1)计算÷100－＝________.(2)(2014·青岛模拟)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.【解析】(1)原式＝(lg)÷＝－20.(2) 2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.∴m2＝10，∴m＝.【答案】(1)－20(2)考向二[026]对数函数的图象及其应用(1)(2014·潍坊质检)函数y＝ax2＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是()(2)(2014·郑州模拟)已知函数f(x)＝若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A...
