课时作业37简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．(2014·山东烟台一模)若命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cosα；命题q：∀x∈R，x2＋1＞0.则下面结论正确的是()A．p是假命题B．綈q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题解析：由cos(π－α)＝cosα得，－cosα＝cosα，因此cosα＝0，解得α＝kπ＋，k∈Z，所以p是真命题；又x2＋1＞0恒成立，所以q是真命题．因此p∨q是真命题，故选D.答案：D2．(2014·河南郑州二模)已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么綈p是()A．∀x≤2，x3－8≤0B．∃x＞2，x3－8≤0C．∀x＞2，x3－8≤0D．∃x≤2，x3－8≤0解析：由“∀→∃，＞→≤”，可知綈p是：∃x＞2，x3－8≤0，故选B.答案：B3．(2014·广东广州三校联考)∃x∈R，x2－ax＋1≤0为假命题，则a的取值范围为()A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：∃x∈R，x2－ax＋1≤0为假命题，即对∀x∈R，x2－ax＋1＞0为真命题．需Δ＝(－a)2－4＜0，即a2－4＜0，解得－2＜a＜2，故a的取值范围为(－2,2)．答案：A4．(2014·四川成都石室中学“一诊”)下列命题的否定为假命题的是()A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B．∀x∈R，lgx＜1C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析：对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x＞10时，lgx＞1，所以∀x∈R，lgx＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题．答案：D5．(2014·北京朝阳第一次综合练习)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站隐”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站隐”可表示为()A．p∨qB．p∨綈qC．綈p∧綈qD．綈p∨綈q解析：“至少有一位队员落地没有站隐”它的否定是“两位队员落地都站隐”，故为1p∧q，而p∧q的否定是綈p∨綈q.答案：D6．(2014·吉林长春第二次调研测试)已知命题p：函数y＝ax＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(0,1)；命题q：若函数y＝f(x)为偶函数，则函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是()A．p∨qB．p∧qC．綈p∧qD．p∨綈q解析：函数y＝ax＋1的图象可看成把函数y＝ax的图象向左平移一个单位得到，而y＝ax的图象恒过(0,1)，所以y＝ax＋1的图象恒过(－1,1)，则p为假命题；若函数y＝f(x)为偶函数，即y＝f(x)的图象关于y轴对称，因此y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)图象向左平移一个单位得到，所以y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则q为假命题．故p∨綈q为真命题，故选D.答案：D二、填空题7．(2015·江苏泰州中学期末考试)由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是__________．解析： “存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2＋2x＋m＞0”是真命题，∴Δ＝4－4m＜0，解得m＞1，故a的值是1.答案：18．(2015·山东德州期末考试)下列四个命题：①∃x∈(0，＋∞)，x＞x②∃x∈(0，＋∞)，log2x＜log3x③∀x∈(0，＋∞)，x＞logx④∀x∈，x＜logx.其中正确命题的序号是__________．解析：取x＝2，＞成立，故①是真命题；取x＝，log2＝－1，log3＞log3＝－1，故②是真命题；取x＝，log＝1＞，故③是假命题；∀x∈，＜x＜0＝1，logx＞log＝1，故④是真命题．综上可知，正确命题的序号是①②④.答案：①②④9．(2015·湖南长沙调研)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－lnx－a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是__________．解析：命题p：a≤x2－lnx在x∈[1,2]上恒成立，令f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝x－＝，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，∴f(x)min＝f(1)＝.∴a≤.命题q：Δ＝4a2－4(－8－6a)≥0，∴a≥－2或a≤－4.综上，a的取值范围为(－∞，－4]∪.答案：(－∞，－4]∪三、解答题10．(2015·锦州月考)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)...
