上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第1讲创新能力型问题（3）泸教版VIP专享VIP免费

上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第1讲高考数学创新能力型问题(3)四．类比、推广与构造型问题的结构和特点：结构：1．给出一个真命题．2．要求对类似的数学对象通过类比或进行推广后，写出相应的真命题，并加以证明．3．给定一定条件；4．设计构造符合上述条件的数学对象.特点：1．要求发现新命题．2．从平面推广到空间，从一元、二元推广到多元，从特殊推广到一般．3．对类似的数学对象进行类比．方法和策略：类比型1.理解给出的真命题和其中的概念；2.根据题目的要求，运用类比法猜测出新命题.推广型1.已知拓展推广的方向；将已知条件中的数学对象推广为所要求拓展的对象，随之问题的结论也业产生相应的变化；2.拓展推广的方向不明确；这类问题只提出推广的要求，但不提出推广方向，这时就需要根据问题的特点首先确定推广方向，然后把它转化为上一类的问题。构造型1．确定构思方向；2．初步设计构造；3．验证是否符合要求；4．继续试验不断修正。六．类比与推广型问题训练题1．（1）在等差数列na中，设Saaa1021，Taaannn89（9n），其中S、T都是常数．证明TSnaaan2021；（2）类比上述性质，相应地在正数等比数列nb中，写出一个类似的真命题，并加以证明．2．（1）已知等差数列na，naaabnn21（Nn），求证：nb仍为等比数列；（2）已知等比数列nc，0nc（Nn），类比上述性质，写出一个真命题并用心爱心专心加以证明．3．下面是一个平面几何定理：底边长和腰长都确定的等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值．试在正三棱锥中写出类似的结论并予以证明．4．（1）若椭圆的两个焦点是1F和2F，P是椭圆上不重合于长轴端点的任意一点，从一个焦点到△21PFF的顶点P的外角平分线作垂线，垂足为Q，求动点Q的轨迹；（2）试在双曲线中给出与问题（1）相类似的命题，并证明你给出的命题是正确的．5．（1）试用向量的方法证明不等式：2222212122121yxyxyyxx；（2）试将上述不等式加以推广，定出一个推广后的不等式，使得已知不等式成为所写不等式的特例，并证明推广后得到的不等式成立．6．（1）证明：若△ABC的A、B、C所对应边的边长分别为a、b、c，则aBcCbcoscos；（2）将此命题推广到空间，把△ABC改为四面体ABCD，可以得到什么类似的结论？请加以证明．7．（1）已知直线014:yxl与抛物线：yx22交于),(AAyxA，),(BByxB两点，l与x轴相交于点)0,(CxC，求证：CBAxxx111；（2）试将（1）中的命题加以推广，使得（1）中的命题是推广后得到的命题的特例，并证明推广后的命题正确．8．（1）已知等差数列前n项的和为nS，前n2项的和为nS2，前n3项的和为nS3，用心爱心专心求证：nnnSsS233；（2）试推广上述结论，提出新的猜想，并加以证明．9．试设计一个定义在（-∞，+∞）上的函数()fx，使它成为一个偶函数和一个奇函数的和。10．在平面直角坐标系中，已知222219xyxxy和相交于四个点，试构造两条经过这四个交点的曲线（不同于已知两条曲线），写出它们的方程。练习题参考答案：1．（1）证明略．（2）若nb是正数等比数列，Sbbb1021，Tbbbnnn89（9n），其中S，T都是常数，则2021nnSTbbb．（证明略）2．（1）证明略．（2）若nc为等比数列，0nc（*Nn），nnncccd21，则nd为等比数列．（证明略）3．若正三棱锥ABCS的底面边长为a，侧面与底面所成二面角的大小为，则其底面上任意一点P到三个侧面的距离之和为定值．4．（1）动点Q的轨迹是以椭圆中心为O为圆心，a为半径的圆．方程为：222ayx．（2）命题：若双曲线的两个焦点是1F和2F，P是双曲线上不重合于实轴端点的任意一点，从一个个向△21PFF的顶点P的内角平分线作垂线，垂足为Q，则动点Q的轨迹是圆．5．（1）证明略．（2）2222222121212212121zyxzyxzzyyxx6．（1）证明略．（2）在四面体ABCD中，若面ABC、ACD、ACD与面BCD组成二面角的大小分别是、、，且它们的面积依次记作1S、2S、3S、4S，若A在平用心爱...