解答题分层综合练(四)压轴解答题抢分练(1)(建议用时：40分钟)1.已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．2．已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求实数a的值及f(x)的极值；(2)如果对任意x1，x2∈[e2，＋∞)，有|f(x1)－f(x2)|≥k|－|，求实数k的取值范围．3．(2015·枣庄统考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，kOA·kOB＝－，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．4．(2015·济宁诊断考试)设函数f(x)＝x2＋mln(x＋1)．(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；(2)若m＝－1，试比较当x∈(0，＋∞)时，f(x)与x3的大小；(3)证明：对任意的正整数n，不等式e0＋e－1×4＋e－2×9＋…＋e(1－n)n2<成立．解答题分层综合练(四)压轴解答题抢分练(1)1．解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2.由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B(，－)．又G(－1，0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2．解：(1)f′(x)＝＝.因为曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝＝0，所以a＝1，所以f(x)＝，x＞0，f′(x)＝－，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值1，无极小值．(2)由(1)的结论知，f(x)在[e2，＋∞)上单调递减，不妨设x1＞x2≥e2，则|f(x1)－f(x2)|≥k|－|⇔f(x2)－f(x1)≥k⇔f(x2)－≥f(x1)－⇔函数F(x)＝f(x)－在[e2，＋∞)上单调递减，又F(x)＝f(x)－＝－，所以F′(x)＝≤0在[e2，＋∞)上恒成立，所以k≤lnx在[e2，＋∞)上恒成立，在[e2，＋∞)上(lnx)min＝lne2＝2，所以k≤2.3．解：(1)由题意得c＝1，又e＝＝，所以a＝2，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)>0得m2<3＋4k2.因为x1＋x2＝－，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.由kOA·kOB＝－＝－得y1y2＝－x1x2，即＝－·，化简得2m2－4k2＝3，满足Δ>0.由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝.又点O到直线l：y＝kx＋m的距离d＝，所以S△AOB＝·d·|AB|＝·＝＝＝＝，故△AOB的面积为定值.4．解：(1)因为f′(x)＝2x＋＝，又函数f(x)在定义域上是单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，若f′(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调递增函数，则m≥－2x2－2x＝－2＋在(－1，＋∞)上恒成立，由此可得m≥；若f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调递减函数，则m≤－2x2－2x＝－2＋在(－1，＋∞)上恒成立．因为y＝－2＋在(－1，＋∞)上没有最小值，所以不存在实数m使f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．综上所述，实数m的取值范围是.(2)当m＝－1时，函数f(x)＝x2－ln(x＋1)．令g(x)＝f(x)－x3＝－x3＋x2－ln(x＋1)，则g′(x)＝－3x2＋2x－＝－，显然，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(0)＝0，所以当x∈(0，＋∞)时，恒有g(x)
