【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章坐标系学业分层测评4柱坐标系与球坐标系简介新人教A版选修4-4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.B.C.D.【解析】由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内．【答案】A2．设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为()A．(2,0,2)B．(2，π，2)C．(，0,2)D．(，π，2)【解析】设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，∴ρ＝＝2，tanθ＝＝0，∴θ＝0，z＝2，∴点M的柱坐标为(2,0,2)．【答案】A3．在空间球坐标系中，方程r＝2表示()A.圆B．半圆C．球面D．半球面【解析】设动点M的球坐标为(r，φ，θ)，由于r＝2，0≤φ≤，0≤θ＜2π.动点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面．【答案】D4．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是()A．(1,0,0)B．(0,1,0)C．(0,0,1)D．(1，π，0)【解析】设M的球坐标为(r，φ，θ)，则r＝＝1，θ＝0，又cosφ＝＝1，∴φ＝0.故点M的球坐标为(1,0,0)．【答案】A5．在直角坐标系中，点P的坐标为，则其球坐标为()【导学号：91060011】A.B.C.D.【解析】r＝＝＝，cosφ＝＝＝，∴φ＝.tanθ＝＝，又y＞0，x＞0，∴θ＝.∴球坐标为.【答案】B二、填空题6．已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________．【解析】设M的直角坐标为(x，y，z)，则由(r，φ，θ)＝，知x＝4sincos＝－2，y＝4sinsin＝2，z＝4cos＝2，∴点M的直角坐标为(－2,2,2)．故点M到OZ轴的距离＝2.【答案】27．在柱坐标系中，点M的柱坐标为，则|OM|＝________.【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)．由(ρ，θ，z)＝知x＝ρcosθ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝，因此|OM|＝＝＝3.【答案】38．(2015·广东高考)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．【解析】由2ρsin＝，得2ρ＝，∴y－x＝1.由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，∴d＝＝.【答案】三、解答题9．在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．【解】根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.10．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2384千米，地球半径为6371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标．【解】在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为原点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝.由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝，由航天器离地面2384千米，地球半径为6371千米，可知r＝2384＋6371＝8755千米，所以点P的球坐标为.[能力提升]1．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称的点的坐标为(0＜θ≤π)()A．(－ρ，－θ，－z)B．(ρ，θ，－z)C．(ρ，π＋θ，－z)D．(р，π－θ，－z)【解析】点P(ρ，θ，z)关于点O(0,0,0)的对称点为P′(ρ，π＋θ，－z)．【答案】C2．点P的柱坐标为，则点P到原点的距离为________．【解析】x＝ρcosθ＝4cos＝2，y＝ρsinθ＝4sin＝2，即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为＝5.【答案】53．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图144所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．图144【解析】由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.【答案】4．已知在球坐标系Oxyz中，M，N，求|MN|.【解】法一由题意知，|OM|＝|ON|＝6，∠MON＝，∴△MON为等边三角形，∴|MN|＝6.法二设M点的直角坐标为(x，y，z)，则故点M的直角坐标为，同理得点N的直角坐标为，∴|MN|＝＝＝6.
