三角恒等变换1、已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，(1)求tan2α的值；(2)求β.解(1)∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝，∴tanα＝4，∴tan2α＝＝＝－.(2)∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.∴β＝.2、已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈，求f(x)的取值范围．解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin·cos＝＋sin2x＋sin＝＋(sin2x－cos2x)＋cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋.由tanα＝2，得sin2α＝＝＝.cos2α＝＝＝－.所以f(α)＝(sin2α＋cos2α)＋＝.(2)由(1)得f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin＋.由x∈，得2x＋∈.∴－≤sin≤1，∴0≤f(x)≤，所以f(x)的取值范围是.3、已知函数f(x)＝4cosx·sin－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解(1)因为f(x)＝4cosxsin－1＝4cosx－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.4、设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．解析∵α为锐角且cos＝，∴α＋∈，∴sin＝.∴sin＝sin1＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.答案5、已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为________．解析∵cosα＝，α∈，∴sinα＝，∴sin2α＝，cos2α＝－.又cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.答案6．计算cos42°cos18°－cos48°sin18°的结果等于()．A.B.C.D.解析原式＝sin48°cos18°－cos48°sin18°＝sin(48°－18°)＝sin30°＝.答案A7.已知sin＝，则cos(π＋2α)的值为()．A．－B.C.D．－解析由题意，得sin＝cosα＝.所以cos(π＋2α)＝－cos2α＝－(2cos2α－1)＝1－2cos2α＝.答案B8．已知cos＝，则sin2x＝()．A.B.C．－D．－解析因为sin2x＝cos＝cos2＝2cos2－1，所以sin2x＝2×2－1＝－1＝－.答案C9．已知α∈，且cosα＝－，则tan等于()．A．7B.C．－D．－7解析因α∈，且cosα＝－，所以sinα＜0，即sinα＝－，所以tanα＝.所以tan＝＝＝.答案B10．已知tan＝－，且＜α＜π，则等于()．A.B．－C．－D．－解析＝＝2cosα，由tan＝－，得＝－，解得tanα＝－3，因为＜α＜π，所以解得cosα＝－＝－，所以原式＝2cosα＝2×＝－.答案C11．设f(x)＝＋sinx＋a2sin的最大值为＋3，则常数a＝________.解析f(x)＝＋sinx＋a2sin＝cosx＋sinx＋a2sin＝sin＋a2sin＝(＋a2)sin.依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.2答案±12、已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.解析∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝，∴cos2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝＝，∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝.答案13．已知函数f(x)＝cos－sin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若α∈，且f＝，求f(2α)的值．解(1)f(x)＝cosx＋sinx－cosx＝sinx－cosx＝sin.∴f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)知f(x)＝sin.所以f＝sin＝sinα＝，∵α∈，∴cosα＝＝＝.∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝，∴f(2α)＝sin＝sin2α－cos2α＝×－×＝.14．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx.(1)求f的值．(2)设α∈(0，π)，f＝－，求sinα的值．解f(x)＝－sin2x＋sinxcosx＝－×＋sin2x＝－＋sin，(1)f＝－＋sin＝0.(2)f＝－＋sin＝－，∴0＜sin＝＜，又∵α∈，∴α＋∈.∴α＋∈，∴cos＝－，∴sinα＝sin＝×＋×＝.15．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于()．A.B.C.D.解析因为α＋＋β－＝α＋β，所以α＋＝(α＋β)－，所以tan＝tan＝＝＝.答案C15．已知α，β∈，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()．A.B.C.D.解析由tan(α＋β)＝4tanβ，得＝4tanβ，解得tanα＝，因为β∈，所以tanβ＞0.所以tanα＝≤＝，当且仅当＝4tanβ，即tan2β＝，tanβ＝时取等号，所以tanα的最大值是.答案B316.若sin＝3sin，则tan2α＝________.解析由已知，得sin＝sinα＋cosα＝3cosα，即sinα＝cosα，所以tanα＝，所以tan2α＝＝＝－.答案－4
