§8.3空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面．公理2的推论如下：①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②经过两条相交直线，有且只有一个平面；③经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．2．空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________．3．平行公理公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据．4．等角定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．自查自纠1．(1)两点直线在平面内(2)不在一条直线(3)有且只有一条2．(1)一个公共点没有公共点没有公共点(2)③互相垂直异面垂直3．同一条直线4．相等或互补给出下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解：经过不共线的三点可以确定一个平面，①错误；两条平行线可以确定一个平面，②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，③正确；命题④中没有说明三个交点是否共线，这两个平面可能相交或重合，④错误．故选C.()若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解：可用反证法，假设l与l1，l2都不相交，因为l与l1都在平面α内，于是l∥l1，同理l∥l2，于是l1∥l2与已知矛盾．故选D.若点P∈α，Q∈α，R∈β，α∩β＝m，且R∉m，PQ∩m＝M，过P，Q，R三点确定一个平面γ，则β∩γ是()A．直线QRB．直线PRC．直线RMD．以上均不正确解： PQ∩m＝M，m⊂β，∴M∈β.又M∈平面PQR，即M∈γ，故M是β与γ的公共点．又R∈β，R∈平面PQR，即R∈γ，∴R是β与γ的公共点．∴β∩γ＝MR.故选C.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是__________．解：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.故填②③④.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为____________．解：连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体的棱长为a，则D1D＝a，DF＝D1F＝a，cos∠D1FD＝＝.故填.类型一基本概念与性质问题在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．解：如图示，在EF上任取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅...
