考点规范练29等差数列及其前n项和一、基础巩固1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于()A.272B.27C.54D.108答案B解析S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27.2.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.172B.192C.10D.12答案B解析 公差d=1,S8=4S4,∴8(a1+a8)2=4×4(a1+a4)2,即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12.∴a10=a1+9d=12+9=192.3.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案B解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.4.已知等差数列{an}的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为()A.110B.200C.210D.260答案C解析设{an}的前n项和为Sn. 在等差数列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,又S4=30,S8=100,∴30,70,S12-100成等差数列,∴2×70=30+S12-100,解得S12=210.5.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是()A.18B.19C.20D.21答案C解析a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.6.在等差数列{an}中,若ana2n是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为()A.{1}B.{1,12}C.{12}D.{0,1,12}答案B解析特殊值验证法.若ana2n=1,则数列{an}是一个常数列,满足题意;若ana2n=12,设等差数列的公差为d,则an=12a2n=12(an+nd),化简,得an=nd,即a1+(n-1)d=nd,化简,得a1=d,也满足题意;若ana2n=0,则an=0,不符合题意.故选B.7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.答案184解析用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+8×72×17=996,解得a1=65.所以a8=65+7×17=184.8.在数列{an}中,其前n项和为Sn,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=.答案211解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n≥2),则数列{an}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,所以S15=1+2×14+14×132×2=211.9.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:{1Sn}成等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn−1Sn-1=2.又1S1=1a1=2,故{1Sn}是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得1Sn=2n,Sn=12n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n−12(n-1)=n-1-n2n(n-1)=-12n(n-1).当n=1时,a1=12不适合上式.故an={12,n=1,-12n(n-1),n≥2.10.在等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以{an}的通项公式为an=2n+35.(2)由(1)知,bn=[2n+35].当n=1,2,3时,1≤2n+35<2,bn=1;当n=4,5时,2≤2n+35<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤2n+35<4,bn=3;当n=9,10时,4≤2n+35<5,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.二、能力提升11.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则当数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.9答案B解析 a1=19,an+1=an-3,∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{an}的前k项和数值最大,则有{ak≥0,ak+1≤0,k∈N*.∴{22-3k≥0,22-3(k+1)≤0.∴193≤k≤223. k∈N*,∴k=7.∴满足条件的n的值为7.12.(2018安徽皖中名校联盟联考)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论:①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0.其中一定正确的结论是()A.①②B.①③④C.①③D.①②④答案B解析设等差数列{an}的公差为d,则2a1+3a1+6d=6a1+15d,即a1+9d=0,a10=0,故①正确;若a1>0,d<0,则S9=S10,且它们为Sn的最大值,故②错误;S12-S7=a8+a9+a10+a11+a1...
