§4.6三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝____________________.(2)cos(α±β)＝____________________.(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝______________．(2)cos2α＝___________＝___________＝___________．(3)tan2α＝.3．半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin＝±.(2)cos＝±.(3)tan＝±＝＝.4．几个常用的变形公式(1)升幂公式：1±sinα＝____________________；1＋cosα＝；1－cosα＝．(2)降幂公式：sin2α＝；cos2α＝．(3)tanα±tanβ＝____________；tanαtanβ＝－1＝1－.(4)辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，或tanφ＝，φ角所在象限与点(a，b)所在象限________．※5.万能置换公式sinα＝，cosα＝，tanα＝.自查自纠1．(1)sinαcosβ±cosαsinβ(2)cosαcosβ∓sinαsinβ(3)2．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α(3)4．(1)2cos22sin2(2)(3)tan(α±β)(1∓tanαtanβ)(4)相同()sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－B.C．－D.解：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.故选D.()若sin＝，则cosα＝()A．－B．－C.D.解：cosα＝1－2sin2＝1－2×＝.故选C.＝()A．－B．－C.D.解：＝＝＝sin30°＝.故选C.已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝____________．解：tanα·tanβ＝1－＝1－＝.故填.()sin15°＋sin75°的值是____________．解：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°>0，而(sin15°＋cos15°)2＝sin215°＋cos215°＋2sin15°cos15°＝1＋＝.∴sin15°＋sin75°＝.故填.类型一非特殊角求值问题求值：(1)sin18°cos36°；(2).解：(1)原式＝＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝.【点拨】对于给角求值问题，如果所给角是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；(4)当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．(1)()4cos50°－tan40°＝()A.B.C.D．2－1解：原式＝4cos50°－＝＝＝＝＝.故选C.(2)()＝________.解：＝＝＝－4.故填－4.(3)()tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值等于()A.B.C．－D．－解： tan120°＝＝－，∴tan70°＋tan50°－tan70°·tan50°＝－.故选D.类型二给值求值问题(1)已知α，β为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，则cosβ的值为________．解： sinα＝<，α∈，∴0<α<. cos＝<，α－β∈，0＜β＜，∴－<α－β<0.∴cosα＝＝＝.sin(α－β)＝－＝－＝－.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.故填.【点拨】给值求值问题，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．另掌握常用的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；20，21，29)，可简化计算．(2)()设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．解：cos＝，α为锐角，则α＋为锐角，sin＝，由二倍角公式得sin2＝，cos2＝，∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝×－×＝.故填.【点拨】用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．(3)()在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()A.B.C.D.解：由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，两边同除以cosB·cosC，得tanB＋tanC＝－，又tan(π－A)＝tan(B＋C)＝＝＝－1，得tanA＝1，∴A＝.故选A.【点拨】区别于前面例子的配凑角，本例侧重于配凑成公式．(1)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝，则的值为()A.B．－C．3D．－3解：＝＝＝＝.故选A.(2)()已知tan＝3，则cosα＝()A.B．－C.D．－解：cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝－.故选B.(3)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于()A．－B.C．－D.解： α∈，2α∈(...
