§9三角函数的简单应用1.如图所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,则当t=0时,角θ的大小及单摆频率分别是()A.1B.2,C.,πD.2,π解析:t=0时,θ=sin.由函数解析式易知单摆的周期为=π,故单摆频率为.答案:A2.右图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置,图中E,F,G,H四点经过半个周期后达到最高点的是()A.EB.FC.GD.H解析:绳波上的点上下振动,点F经过半个周期恰好达到最高点.答案:B3.商场人流量被定义为每分钟通过门口的人数,元旦某商场的人流量满足函数f(t)=50+4sin(t≥0),则下列时间段内人流量是增加的是()A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]解析:由2kπ-≤2kπ+(k∈Z),得4kπ-π≤t≤4kπ+π(k∈Z),即函数f(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π](k∈Z),当k=1时,增区间为[3π,5π],而[10,15]∈[3π,5π],故选C.答案:C4.(2016浙江杭州高三质检)如图为一半径为3m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮自点A开始1min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则()A.ω=,A=3B.ω=,A=3C.ω=,A=5D.ω=,A=5答案:A5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N+)D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)解析:由题意,可得A==2,b=7,周期T==2×(7-3)=8,∴ω=.于是f(x)=2sin+7,再代入点(3,9),结合φ的范围可求得φ=-.答案:A6.导学号03070069动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的递增区间是()A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]解析:∵T=12,∴ω=,从而可设y关于t的函数为y=sin.又t=0时,y=,∴φ=,∴y=sin,∴当2kπ-t+≤2kπ+(k∈Z),即12k-5≤t≤12k+1(k∈Z)时,函数递增.∵0≤t≤12,∴函数y的递增区间为[0,1]和[7,12].答案:D7.已知简谐振动f(x)=2sin的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.解析:其函数图像经过点(0,1),将点(0,1)代入函数表达式可得2sinφ=1,sinφ=,又|φ|<,所以φ=.答案:8.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数,则d=,其中t∈[0,60].解析:解析式可写为d=Asin(ωt+φ)的形式,由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得φ=0;当t=30时,d=10,可得ω=,所以d=10sin.答案:10sin9.如图所示,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时.(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式;(2)求该物体在t=5s时的位置.解:(1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x=3sin(ωt+φ)(ω>0,0≤φ<2π),则由T==3,得ω=.当t=0时,有3sinφ=3,即sinφ=1.又0≤φ<2π,故可得φ=.从而所求的函数关系式是x=3sin,即为x=3cost.(2)令t=5,得x=3cos=-1.5,故该物体在t=5s时的位置是在点O左侧,且距点O的距离为1.5cm.10.导学号03070070已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I=Asin(ωt+φ).(1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图像,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式;(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?解:(1)由图知A=300,设t1=-,t2=,则周期T=2(t2-t1)=2.∴ω==150π.∴I=300sin(150πt+φ).又当t=时,I=0,即300sin=0,而|φ|<,∴φ=.故所求的解析式为I=300sin.(2)依题意,周期T≤,即(ω>0),∴ω≥300π.而300π<942.48,故所求最小正整数ω=943.
