解答题专题练(三)立体几何(建议用时：60分钟)1.(2015·德州第一次质量预测)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，BC＝AD＝1，PD＝CD＝2，Q为AD的中点，M为棱PC上一点．(1)试确定点M的位置，使得PA∥平面BMQ，并证明你的结论；(2)若PM＝2MC，求二面角PBQM的余弦值．2.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝.(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；(2)设H为CD上一点，满足CH＝2HD，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角HPBC的余弦值．3.如图，AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC＝2BC＝2CD＝2，PA⊥圆O所在的平面，BM＝BP.(1)求证：CM∥平面PAD；(2)当CM与平面PAC所成角的正弦值为时，求AP的值．4.(2015·日照诊断考试)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，BC＝CD＝1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证：AD1⊥BC；(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值．5.(2015·泰安模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，二面角MBQC为60°，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求三棱锥MBCQ的体积．6．如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．解答题专题练(三)立体几何1．解：(1)当M为PC的中点时，PA∥平面BMQ.证明如下：连接AC交BQ于N，连接MN，因为AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，所以BC＝QD且BC∥QD，所以四边形BCDQ为平行四边形，所以DC∥BQ，即QN∥DC，所以N为AC的中点．当M为PC的中点，即PM＝MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ，所以PA∥平面BMQ.(2)由题意，以点D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，Q(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，由PM＝2MC可得点M，所以PQ＝(1，0，－2)，QB＝(0，2，0)，QM＝，设平面PQB的法向量为n1＝(x，y，z)，则故令z＝1，得n1＝(2，0，1)，同理平面MBQ的一个法向量为n2＝，设所求二面角大小为θ，结合图形知cosθ＝＝.2．解：(1)证明：由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1，可得BD＝.又BC＝，所以CD＝2，所以BC⊥BD.因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，又PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD，所以平面PBD⊥平面PBC.(2)由(1)可知∠BPC为PC与平面PBD所成的角，所以tan∠BPC＝，所以PB＝，PD＝1.由CH＝2HD及CD＝2，可得CH＝，DH＝.以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则B(1，1，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，H.设平面HPB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即取y1＝－3，则n＝(1，－3，－2)．设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则即取x2＝1，则m＝(1，1，2)．又cos〈m，n〉＝＝－，结合图形知，二面角H-PB-C的余弦值为.3．解：(1)证明：作ME⊥AB于E，连接CE，则ME∥AP.①因为AC是圆O的直径，AC＝2BC＝2CD＝2，所以AD⊥DC，AB⊥BC，∠BAC＝∠CAD＝30°，∠BCA＝∠DCA＝60°，AB＝AD＝.又BM＝BP，所以BE＝BA＝，tan∠BCE＝＝，所以∠BCE＝∠ECA＝30°＝∠CAD，所以EC∥AD，②由①②，且ME∩CE＝E，PA∩AD＝A，得平面MEC∥平面PAD，又CM⊂平面MEC，CM⊄平面PAD，所以CM∥平面PAD.(2)依题意，如图，以A为原点，直线AB，AP分别为x，z轴建立空间直角坐标系，设AP＝a，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，a)，D.设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，CM与平面PAC所成的角为θ，则设x＝，则n＝(，－3，0)，又CM＝CB＋BM＝CB＋BP，所以CM＝，所以sinθ＝|cos〈CM，n〉|＝＝＝＝，所以a＝，即AP的值为.4．解：(1)证明：连接D1C，则D1C⊥平面ABCD，所以D1C⊥BC.在等腰梯形ABCD中，连接AC，因为AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，所以BC⊥AC，所以BC⊥平面AD1C，所以AD1⊥BC.(2)法一：因为AB∥CD，所以∠D1DC＝，...
