§5.2平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使______________．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a与b同向时，夹角θ＝________；a与b反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a与b的夹角是____________，我们就说a与b垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对__________叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝__________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为________．显然，i＝_____________，j＝_____________，0＝_____________.4．平面向量的坐标运算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝_____________.(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝___________.(3)若a＝(x，y)，则λa＝____________.(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是____________________．※5.线段的分点坐标设点P是线段P1P2上的一点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)．当P1P＝λPP2时，点P的坐标(x，y)＝.特别地：①当λ＝1时，点P为线段P1P2的中点，其坐标为P.②G(x，y)为△ABC的重心，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则AB中点D的坐标为.再由CG＝2GD，我们便得到了三角形的重心坐标G(，)．自查自纠1．a＝λ1e1＋λ2e2基底2．(1)非零(2)0°≤θ≤180°0°180°(3)90°a⊥b3．(1)互相垂直(2)(x，y)(x，y)(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)4．(1)(x1±x2，y1±y2)(2)(x2－x1，y2－y1)(3)(λx，λy)(4)x1y2－x2y1＝0()已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)解：AB＝(3，1)，BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么以下表述正确的是()A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2是实数C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D．对平面α内的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对解：依平面向量基本定理，选项B，C，D都错，只有A的表述是正确的，故选A.()已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于()A．－B.C．－或D．0解：由a∥b知1×2－m2＝0，∴m＝±.故选C.()已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解：因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以解得故m－n＝－3.故填－3.已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.解：因为a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)与c＝(k，)共线，c≠0，所以×－3k＝0，解得k＝1.故填1.类型一向量共线充要条件的坐标表示平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；(3)若n≠0，且ma＋nb与a－2b共线，求的值．解：(1)由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，所以解得(2)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(3)ma＋nb＝(3m－n，2m＋2n)，a－2b＝(5，－2)，由题意得－2(3m－n)－5(2m＋2n)＝0，解得＝－.【点拨】解决此类题目，我们只需要牢记：(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(a≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数...
