课时作业8辗转相除法、更相减损术与秦九韶算法——基础巩固类——1．在对16和12求最大公约数时，整个操作为：(16,12)→(12,4)→(8,4)→(4,4)，由此可以看出16和12的最大公约数是(A)A．4B．12C．16D．8解析：本小题是用更相减损术求16与12的最大公约数．2．用辗转相除法求72与120的最大公约数，需要做除法的次数为(B)A．4B．3C．5D．6解析：由辗转相除法得120＝72×1＋48,72＝48×1＋24,48＝24×2，需要做三次除法运算．3．下列各组数的最大公约数与288和123的最大公约数不同的是(D)A．42和123B．42和39C．3和39D．42和288解析：288与123的最大公约数是3，A、B、C中的最大公约数也是3，只有D中的42和288的最大公约数是6，故选D.4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为(B)A．－144B．－136C．－57D．34解析：根据秦九韶算法多项式可化为f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.由内向外计算v0＝3；v1＝3×(－4)＋5＝－7；v2＝－7×(－4)＋6＝34；v3＝34×(－4)＋0＝－136.5．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为(D)A．5,4B．5,5C．4,4D．4,5解析：n次多项式当最高次项的系数不为1时，需进行n次乘法；若各项均不为0，则需进行n次加法(或减法)，缺一项就减少一次加法(或减法)运算，而这个5次多项式的5次项系数不为1，缺常数项．因而乘法次数为5，加法(或减法)次数为5－1＝4.6．4830与3289的最大公约数为(A)A．23B．35C．11D．13解析：4830＝1×3289＋1541；3289＝2×1541＋207；1541＝7×207＋92；207＝2×92＋23；92＝4×23.∴23是4830与3289的最大公约数．7．用辗转相除法求294与84的最大公约数时，需要做除法次数是(B)A．1B．2C．3D．4解析： 294＝84×3＋42,84＝42×2，∴用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数2.故选B.8．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为(B)A．4B．5C．6D．7解析：459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．9．117与182的最大公约数是13.解析：本题采用辗转相除法，过程如下：(182,117)―→(117,65)―→(65,52)―→(52,13)，故最大公约数是13.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值为－1.解析：先改写多项式，由内向外计算．f(x)＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1，当x＝－2时，v0＝1，v1＝v0×(－2)＋5＝3，v2＝3×(－2)＋10＝4，v3＝4×(－2)＋10＝2，v4＝2×(－2)＋5＝1，v5＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.11．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入an－k.解析：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.f1＝an；k＝1，f2＝f1x0＋an－1；k＝2，f3＝f2x0＋an－2；…；归纳得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A处应填an－k.12．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．(1)294,84；(2)204,85.解：(1)294＝84×3＋42,84＝42×2，即294与84的最大公约数是42.验证： 294与84都是偶数可同时除以2，即取147与42的最大公约数后再乘以2.147－42＝105,105－42＝63，63－42＝21,42－21＝21，∴294与84的最大公约数为21×2＝42.(2)204＝85×2＋34，85＝34×2＋17，34＝17×2，因此，204与85的最大公约数是17.验证：204－85＝119，119－85＝34，85－34＝51，51－34＝17，17－17＝0，因此，204与85的最大公约数是17.13．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x7－2x6＋3x3－4x2＋1当x＝2时的函数值．解：先将多项式f(x)进行改写：f(x)＝x7－2x6＋3x3－4x2＋1＝((((((x－2)x＋0)x＋0)x＋3)x－4)x＋0)x＋1，由内向外逐层计算：v0＝1，v1＝v0x＋a6＝1×2－2＝0，v2＝v1x＋a5＝0×2＋0＝0，v3＝v2x＋a4＝0×2＋0＝0，v4＝v3x＋a3＝0×2＋3＝3，v5＝v4x＋a2＝3×2－4＝2，v6＝v5x＋a1＝2×2＋0＝4，v7＝v6x＋a0＝4×2＋1＝9，故f(2)＝9.——能力提升...
