考点规范练7函数的奇偶性与周期性一、基础巩固1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案C解析 f(-x)=-1x+x=-(1x-x)=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(-∞,0)内单调递增的是()A.y=x2B.y=2|x|C.y=log21|x|D.y=sinx答案C解析函数y=x2在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=2|x|在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=log21|x|=-log2|x|是偶函数,且在区间(-∞,0)内是增函数;函数y=sinx不是偶函数.故选C.3.已知函数f(x)={x4+1,x>0,cos2x,x≤0,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案D解析因为y=x4+1(x>0)的值域为(1,+∞),且y=cos2x(x≤0)的值域为[-1,1],所以f(x)的值域为(1,+∞)∪[-1,1]=[-1,+∞).故选D.4.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.1B.5C.-1D.-5答案B解析令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.5.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A.2B.1C.-1D.-2答案A解析 f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,∴f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,∴f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-❑√2,则f(log124❑√2)的值为()A.0B.1C.❑√2D.-❑√2答案A解析因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(log124❑√2)=f(-log2252)=f(-52)=-f(52).又f(x+2)=f(x),所以f(52)=f(12)=212−❑√2=0.所以f(log124❑√2)=0.7.已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+∞)内为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)答案D解析由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图象关于直线x=8对称.又f(x)在区间(8,+∞)内为减函数,故f(x)在区间(-∞,8)内为增函数.可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10).8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x.若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案C解析因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出f(x)的大致图象如图中实线部分,结合图象可知f(x)是R上的增函数.由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2
0的解集为.答案{x|-1212}解析由奇函数y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且f(12)=0,可知函数y=f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,且f(-12)=0.由f(x)>0,可得x>12或-12m2-1,解得-2
