1.1周期现象与周期函数课后导练基础达标1.今天是星期五，九天后的那一天是星期几…（）A.五B.六C.日D.一解析：每个星期有7天，9÷7=1……2,故为星期日.答案：C2.下列函数是周期函数的是（）①f(x)=x②f(x)=2x③f(x)=1④f(x)=A.①②B.③C.③④D.①②③④解析：①f(x+T)=x+T≠x,∴f(x)不是周期函数，①错误.只能从B、C中选，所以只需判断④即可，f(x+T)=是周期函数，故④正确.答案：C3.下列命题正确的是（）A.周期函数必有最小正周期B.只有y=sinx才是周期函数C.y=1的最小正周期为1D.周期函数的定义域一定是无限集解析：由周期函数的定义知A、B、C均错误.答案：D4.已知y=f(x)为最小正周期为2的函数，且f(1)=4,则f(5)等于（）A.3B.2C.1D.4解析：∵y=f(x)中T=2，∴f(5)=f(2×2+1)=f(1)=4.答案：D5.下列四个函数为周期函数的是（）A.y=1B.y=3x0C.y=x2D.y=x解析：由周期函数定义知y=1是周期函数，对于y=3x0,不存在常数T，使f(0+T)=f(0).答案：A6.设f(x)(x∈R)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(1)=-1，则f(11)的值是（）A.-1B.1C.2D.-2解析：∵f(x)是奇函数，∴f(-1)=-f(1)=1,f(11)=f(11-3×4)=f(-1)=1.答案：B7.若f(x)是以为周期的函数，且f()=1,则f(-)=_______.解析：f(-)=f(-2×)=f()=1答案：18.今天是星期一，158天后的那一天是星期几？解析:∵158=7×22+4，而今天是星期一，∴158天后的那一天是星期五.9.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)=f(-x)(x∈R),证明f(x)为周期函数.证明：由f(x+2)=f［(x+1)+1］=f［-(x+1)］=-f(x+1)=-f(-x)=f(x)得，f(x)是周期函数，周期为2.10.求证：若函数y=f(x)(x∈R)的图象关于x=a对称，且关于x=b对称，则f(x)为周期函数，且2(b-a)是它的一个周期.证明：设x是任意一个实数，因为函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，故f(a+x)=f(a-x)，同理，f(b+x)=f(b-x).于是f［x+2(b-a)］=f［b+(b+x-2a)］=f［b-(b+x-2a)］=f(2a-x)=f［a+(a-x)］=f［a-(a-x)］=f(x).所以，f(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期.综合运用11.定义在实数集上的偶函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当2≤x≤3时，f(x)=x,则当-1≤x≤0时，f(x)等于（）A.4+xB.2+|x+1|C.-2+xD.3-|x+1|解析：当x∈［-1,0］时，-x∈［0,1］,-x+2∈［2,3］,f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x,因为3-|x+1|=2-x，∴f(x)=3-|x+1|.答案：D12.设f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，f(1)＞1,f(2)=a,则（）A.a＞2B.a＜-2C.a＞1D.a＜-1解析：f(2)=-f(-2)=-f(3-2)=-f(1)=a,∴f(1)=-a＞1,∴a＜-1.答案：D13.函数f(x)的最小正周期为8，且等式f(4+x)=f(4-x)对一切实数都成立，则f(x)是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶D.非奇非偶解析：∵T=8,且f(4+x)=f(4-x)，∴f(x)=f(x+8)=f［4+(4+x)］=f［4-(4+x)］=f(-x),∴f(x)为偶函数.答案：B14.设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且f(x)为偶函数，在区间［2,3］上，f(x)=-2(x-3)2-4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析式.解析：令x∈［-3，-2］，则-x∈［3，2］，从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x).即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈［-3,-2］.令x∈［1，2］，则x-4∈［-3，-2］，有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4，即x∈［1，2］时，f(x)=-2(x-1)2+4.15.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，对任意的x1,x2∈［0,］，都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).（1）设f(1)=2，求f(),f()；（2）证明f(x)是周期函数.（1）解析：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈［0,］知f(x)=f()·f()≥0,x∈［0,1］,故f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］2.因此f(12)=2,又f(1）=2，故f()=f(+)=［f()］2=2.即f()=2.（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)，∴f(x+2)=f(x),即f(x)为周期函数.拓展探究16.函数满足f(x+2)=f(x-2)，且f(4+x)=f(4-x).若2≤x≤6时,f(x)=x2-2bx+c,f(-4)=-14,试比较f(b)与f(c)的大小.解析：由已知f(4+x)=f（4-x）,x∈R,得x=4是函数f(x)图象的对称轴.又∵2≤x≤6,f(x)=x2-2bx+c,∴x=4是f(x)=x2-2bx+c,x∈［2,6］的对称轴，即=4,∴b=4.又∵f(x+2)=f(x-2),∴f(x)=f［(x+2)-2］=f［(x+2)+2］=f(x+4).∴f(x)是周期函数，周期为T=4.∵f(-4)=-14,而f(-4)=f(-4+4×2)=f(4),∴f(4)=-14.∵4∈［2,6］,∴42-2×4×4+c=-14,∴c=2.∴当x∈［2,6］时，f(x)=x2-8x+2.∴f(x)在x∈［2,4］上是减函数,∴f(2)＞f(4),即f(c)＞f(b).
