§10.2排列与组合1．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号______表示．(3)排列数公式：A＝________________________.这里n，m∈N*，并且________．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个____________，叫做n个元素的一个全排列A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝__________，因此，排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝________.2．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．(3)组合数公式：C＝＝___________＝___________．这里n∈N*，m∈N，并且m≤n.(4)组合数的两个性质：①C＝____________；②C＝____________＋____________.自查自纠1．(1)一定的顺序(2)所有不同排列A(3)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m≤n(4)排列n！12．(1)合成一组(2)所有不同组合C(3)(4)①C②CC()6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72D．24解：剩余的3个座位共有4个空供3人选择就座，故任何两人不相邻的坐法种数为A＝24.故选D.()某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有()A．84种B．98种C．112种D．140种解：不同的邀请方法有：CC＋C＝112＋28＝140种．故选D.()用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个解：该五位数从左向右首位是4时，末尾取0或2，有2A＝48个；该五位数从左向右首位是5时，末尾取0，2或4，有3A＝72个．由分类计数原理知共有48＋72＝120个符合要求的五位数．故选B.()某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．(用数字作答)解：先确定一个公益广告最后播放，再排另一个公益广告，最后排三个商业广告，不同的播放方式有A·A·A＝36种．故填36.()在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_____________(结果用数值表示)．解：由题意，总数去掉选5名女教师的情况即可，故所求为C－C＝126－6＝120.故填120.类型一排列数与组合数公式(1)解方程3A＝4A；(2)解方程C＝C＋C＋C.解：(1)利用3A＝3，4A＝4，得到＝.利用(10－x)！＝(10－x)(9－x)(8－x)！，将上式化简后得到(10－x)(9－x)＝4×3.再化简得到x2－19x＋78＝0.解方程得x1＝6，x2＝13.由于A和A有意义，所以x满足x≤8和x－1≤9.于是将x2＝13舍去，原方程的解是x＝6.(2)由组合数的性质可得C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C，又C＝C，且C＝C＋C，即C＋C＝C＋C.∴C＝C，∴5＝x＋2，x＝3.经检验知x＝3符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为x＝3.【点拨】(1)应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义．(2)应用组合数性质C＝C＋C时，应注意其结构特征：右边下标相同，上标相差1；左边(相对于右边)下标加1，上标取大．使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉越长，又可以从右推到左，越推越短．(1)解方程：3A＝2A＋6A；(2)计算：C＋C＋C＋…＋C.解：(1)由3A＝2A＋6A得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，由x≠0整理得3x2－17x＋10＝0.解得x＝5或(舍去)．即原方程的解为x＝5.(2)原式＝(C＋C)＋C＋…＋C＝(C＋C)＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝166650.类型二排列的基本问题7位同学站成一排照相．(1)甲站在中间，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(6)甲必须站在乙的左边的...
