§9.5曲线与方程1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)______________________________________；(2)______________________________________．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的__________，用有序实数对(x，y)表示曲线上____________M的坐标；(2)写出____________的点M的集合：P＝{M|p(M)}；(3)用__________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为____________形式；(5)说明以化简后的方程的________为坐标的________都在曲线上．注：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，另外，也可以根据情况省略步骤(2)．3．求曲线的轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0.也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明．(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数．(4)相关点法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，首先用x，y表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程．(5)交轨法：动点P(x，y)是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程．(6)参数法：当动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程f(x，y)＝0.(4)、(5)两种方法本质上也是参数法，只不过是多参数的参数方程或是隐性式的参数方程．自查自纠1．(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点2．(1)坐标系任意一点(2)适合条件p(3)坐标(4)最简(5)解点方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是()A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线解：原方程化为或－1＝0，∴2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4.故选D.方程＋＝1表示的曲线是()解：原方程可化为：①②③④分别作出它们的图象，可知选项D符合条件，故选D.已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A．x2－＝1(x>1)B．x2－＝1(x<－1)C．x2＋＝1(x>0)D．x2－＝1(x>1)解：由题可知，－＝－＝2，由双曲线的定义可知P点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，由c＝3，a＝1，知b2＝8.∴P点的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．故选A.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是____________．解：由角平分线定义和绝对值定义知＝，即－＝0.故填－＝0.已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为____________．解法一：直接法．设A(x，y)，则D，∴|CD|＝＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.∴顶点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．解法二：定义法．如图所示，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于点E. |CD|＝3，∴|AE|＝6，|BE|＝10，则E(10，0)．∴顶点A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x－10)2＋y2＝36.又A，B，C三点构成三角形，∴A点的纵坐标y≠0，∴顶点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．故填(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．类型一已知方程判断曲线|y|－1＝表示的曲线是()A．抛物线B．一个圆C．两个圆D．两个半圆解：原方程|y|－1＝等价于得或∴原方程表示(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)和(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)两个半圆．故选D.【点拨】化简曲线方程时要注意等价性，每一步都需等价转化，对含有绝对值的式子须进行分类讨论，且分类要彻底，最后再综合起来分析．()若实数x，y满足x|x|－y|y|＝1，则点(x，y)到直线y＝x的距离的取值范围是()A．[1，)B．(0，]C.D．(0，1]解：①当x≥0且y≥0时，x|x|－y|y|＝x2－y2＝1；②当x＞0且y＜0时，x|x|－y|y|＝x2...
