习题课数列的综合应用课后篇巩固探究1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于()A.6B.7C.8D.9答案:A2.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于()A.80B.30C.26D.16解析:设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知2(14-a)=(a-2)2,解得a=6或a=-4(舍去),同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以b=S4n=30.答案:B3.(2017全国3高考)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8解析:设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24,故选A.答案:A4.设数列{2n-1}按第n组有n个数(n是正整数)的规则分组如下:(1),(2,4),(8,16,32),…,则第101组中的第一个数为()A.24951B.24950C.25051D.25050解析:前100组共有1+2+3+…+100=5050个数,则第101组中的第一个数为数列{2n-1}的第5051项,该数为25050.答案:D5.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+),则an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n∈N+),∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得2an=3an-1(n≥2),又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1,∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,∴an=.答案:D6.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()A.5年B.6年C.7年D.8年解析:由题意可知第一年的产量为a1=×1×2×3=3;以后各年的产量分别为an=f(n)-f(n-1)=n(n+1)(2n+1)-(n-1)·n·(2n-1)=3n2.令3n2≤150,∴1≤n≤5.又n∈N+,∴1≤n≤7,即生产期限最长为7年.答案:C7.已知两个数列{an},{bn}满足bn=3nan,且数列{bn}的前n项和为Sn=3n-2,则数列{an}的通项公式为.解析:由题意可知3a1+32a2+…+3nan=3n-2.①当n=1时,a1=;当n≥2时,3a1+32a2+…+3n-1an-1=3(n-1)-2,②①-②,得3nan=3,an=,此时,令n=1,有a1=1,与a1=相矛盾.故an=答案:an=8.已知正项等比数列{an}中,a1=3,a3=243,若数列{bn}满足bn=log3an,则数列的前n项和Sn=.解析:设数列{an}的公比为q(q>0),因为a3=a1q2,解得q=9,所以an=a1qn-1=3×9n-1=32n-1.所以bn=log3an=log332n-1=2n-1,所以=,所以数列的前n项和Sn=+…+==.答案:9.定义运算:=ad-bc,若数列{an}满足=1,且=12(n∈N+),则a3=,数列{an}的通项公式为an=.解析:由题意得a1-1=1,3an+1-3an=12,即a1=2,an+1-an=4.∴{an}是以2为首项,4为公差的等差数列.∴an=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10.答案:104n-210.导学号33194028若数列{an}满足=d(n∈N+,d为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=.解析:由题意知,若{an}为调和数列,则为等差数列,∴由为调和数列,可得数列{xn}为等差数列.由等差数列的性质知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11==20.答案:2011.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N+,a3=5,S10=100.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=+2n,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意,得解得所以an=2n-1.(2)因为bn=+2n=×4n+2n,所以Tn=b1+b2+…+bn=(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)=+n2+n=×4n+n2+n-.12.导学号33194029(2017山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.解(1)设{an}的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,q=a1q2,又an>0,解得:a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知:S2n+1==(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1.令cn=,则cn=,因此Tn=c1+c2+…+cn=+…+.又Tn=+…+,两式相减得Tn=,所以Tn=5-.13.导学号33194030已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N+,n≥2),且a4=81.(1)求数列{an}的前三项.(2)是否存在一个实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.(3)求数列{an}的前n项和Sn.解(1)由an=2an-1+2n-1(n∈N+,n≥2)得,a4=2a3+24-1=81,∴a3=33;同理可得,a2=13,a1=5.(2)假设存在实数λ,使得数列为等差数列,=1-.则1-为常数,∴=0,λ=-1.即存在实数λ=-1,使得数列为等差数列.(3)由(2)可知,等差数列的公差d=1,则+(n-1)×1=n+1,∴an=(n+1)2n+1.Sn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n+n.记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n,有2Tn=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)×2n+1,两式错位相减得,Tn=n·2n+1.∴Sn=n·2n+1+n=n(2n+1+1).
