高考小题分项练7数列1．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝3，则该数列前五项的积为________．答案1解析因为a4＝a1q3,3＝×q3，q＝3，所以a1a2a3a4a5＝a＝(a1q2)5＝(×9)5＝1.2．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2＝________.答案3解析a1＝a2－2，a5＝a2＋6，∴a＝a1a5＝(a2－2)(a2＋6)，解得a2＝3.3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.答案解析当n＝3时，＝＝，∴＝.4．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，则该数列的前12项和为________．答案147解析∵a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，∴a3＝a1＋1＝2，a4＝2a2＝4，…，a2k－1＝a2k－3＋1，a2k＝2a2k－2(k∈N*，k≥2)．∴数列{a2k－1}成等差数列，数列{a2k}成等比数列．∴该数列的前12项和为(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)＝(1＋2＋…＋6)＋(2＋22＋…＋26)＝＋＝21＋27－2＝147.5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________.答案104解析由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，所以，S13＝＝13a7＝104.6．正项等比数列{an}中的a1，a4031是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，则loga2016＝________.答案1解析∵f′(x)＝x2－8x＋6，∴a1·a4031＝6，∴a＝6，∵a2016>0，∴a2016＝，loga2016＝1.7．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝________.答案3n解析由Sn＝(an－1)，则n≥2时，Sn－1＝(an－1－1)，则an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)，∴an＝3an－1，∴an＝3n，∴a1＝3符合公式，∴an＝3n.8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案解析设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，①3a1＋21d＝4，②②×4－①×3得：66d＝7，解得d＝，代入①得：a1＝，则a5＝＋(5－1)×＝.9．等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为________．答案210解析因为{an}是等差数列，所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，即2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.10．设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________．答案20解析＝，(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，S9－S6＝＝＝S3＋＋10≥10＋10＝20，当且仅当S3＝5时取“＝”，则S9－S6的最小值为20.11．已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时的n的值为______．答案5或6解析由题意得d＝＝－5，因此an＝a5＋(n－5)d＝－5n＋40，a8＝0，而数列{an}的第n项到第n＋5项的和为连续6项的和，因此|Tn|取得最小值时的n的值为第8项前3项或前2项，即n的值为5或6.12．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是____________．答案[，1)解析∵a1＝f(1)＝，∴an＋1＝f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝an，∴数列{an}为首项a1＝，公比q＝的等比数列，∴Sn＝＝1－()n.∵n≥1，∴≤Sn<1.13．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2018项的乘积a1·a2·a3·…·a2018＝________.答案－6解析由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，∴数列{an}是以4为周期的数列，而2018＝4×504＋2，∴前2018项乘积为a1a2＝－6.14．设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足4Sn＝(an＋1)2(n＝1,2,3，…)，则Sn＝________.答案n2解析由题意知：Sn＝(＋)2，当n＝1时，易得a1＝1.an＝Sn－Sn－1＝(＋)2－(＋)2＝(＋＋1)·(－)＝()＋(－)，整理得：＝⇒an－an－1＝2，所以an＝2n－1，所以Sn＝n2.
