高考数学二轮复习 大题规范练10“20题、21题”24分练 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

大题规范练(十)“20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．设A，B分别是x轴，y轴上的动点，点P在直线AB上，且AP＝PB，|AB|＝2＋.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)已知曲线E上的定点K(－2,0)及动点M，N满足KM·KN＝0，试证：直线MN必过x轴上的定点.【导学号：07804241】[解](1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，则AP＝(x－xA，y)，PB＝(－x，yB－y)，由AP＝PB，得xA＝x＋x，yB＝y＋y，由|AB|＝2＋，即可求得点P的轨迹E的方程为＋＝1.(2)证明：设直线KM：y＝k(x＋2)(k≠0)与＋＝1联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.设M(x1，y1)，则－2＋x1＝－，x1＝－＋2＝，y1＝k(x1＋2)＝，∴M，设直线KN：y＝－(x＋2)(k≠0)，同理可得N，kMN＝＝－(k2≠1)，则MN：y－＝－(x－)，化简可得y＝－，即直线MN过定点，另MN斜率不存在时，也过定点，∴直线MN必过定点.21．已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，求证：x1＋x2＜0.[解](1)f′(x)＝xex＋2ax＝x(ex＋2a)．(ⅰ)当a＞0时，ex＋2a＞0，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．因为f(0)＝－1＜0，f(2)＝e2＋4a＞0，取实数b满足b＜－2且b＜lna，则f(b)＞a(b－1)＋ab2＝a(b2＋b－1)＞a(4－2－1)＞0，所以f(x)有两个零点．(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝(x－1)ex，故f(x)只有一个零点，不满足题意．(ⅲ)若a＜0，当a≥－，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又当x≤0时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点，不满足题意；当a＜－，则函数f(x)在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增；在(0，ln(－2a))上单调递减．又当x≤1时，f(x)＜0，故不存在两个零点．综上所述，a的取值范围是(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x1＜x2.由(1)，知x1∈(－∞，0)，x2∈(0，＋∞)，－x2∈(－∞，0)，则x1＋x2＜0等价于x1＜－x2.因为函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以x1＜－x2等价于f(x1)＞f(－x2)，即f(－x2)＜0.由f(x2)＝(x2－1)e＋ax＝0，得ax＝(1－x2)e，f(－x2)＝(－x2－1)e＋ax＝(－x2－1)e＋(1－x2)e，令g(x)＝(－x－1)e－x＋(1－x)ex，x∈(0，＋∞)．则g′(x)＝－x(ex－e－x)＜0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(0)＝0，所以g(x)＜0.所以f(－x2)＜0，即原命题成立，x1＋x2＜0.