课堂达标(五十四)几何概型[A基础巩固练]1．(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.B.C.D.[解析]由题至少等15秒遇绿灯的概率为P＝＝.故选B.[答案]B2．(2018·贵阳市监测考试)在[－4,4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上单调递增的概率为()A.B.C.D.[解析]由题意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函数f(x)在R上单调递增，则3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率为＝，故选D.[答案]D3．在区间上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，]的概率是()A.B.C.D.[解析]因为x∈，所以x＋∈，由sinx＋cosx＝sin∈[1，]，得≤sin≤1，所以x∈，故要求的概率为＝.[答案]B4．(2018·石家庄模拟)已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确．则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A.B.C．1－D．1－[解析]由题意知在等腰直角三角形OAB中，以O为圆心，为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|＝2，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－＝1－.[答案]D5．(2018·山西四校联考)在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为()A.B.C.D.[解析]设AB，AC上分别有点D，E满足AD＝AB且AE＝AC，则△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝BC. 点A到DE的距离等于点A到BC的距离的，1∴DE到BC的距离等于△ABC高的.当动点P在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，∴当P在△ADE内部运动时，△PBC的面积大于，∴所求概率为＝2＝.[答案]D6．(2018·佛山二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A，则事件A发生的概率为()A.B.C.D.[解析]由题意，得即表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为，故选C.[答案]C7．如图，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为______．[解析]设球的半径为R，则所求的概率为P＝＝＝.[答案]8．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为______．[解析]当点P在BC上时，AP与BC有公共点，此时AP扫过△ABC，所以P＝＝＝.[答案]9．在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥SAPC的体积大于的概率是______．[解析]由题意可知>，三棱锥SABC的高与三棱锥SAPC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分2别为△APC与△ABC的高，所以＝＝>，又＝，所以>，故所求的概率为(即为长度之比)．[答案]10．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M.(1)求四棱锥MABCD的体积小于的概率；(2)求M落在三棱柱ABCA1B1C1内的概率．[解](1)正方体ABCDA1B1C1D1中，设MABCD的高为h，令×S四边形ABCD×h＝， S四边形ABCD＝1，∴h＝.若体积小于，则h<，即点M在正方体的下半部分，∴P＝＝.(2) V三棱柱＝×12×1＝，∴所求概率P1＝＝.[B能力提升练]1．(2018·重庆适应性测试)在区间[1,4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为()A.B.C.D.[解析]依题意，记从区间[1,4]上取出的两个实数为x，y，不等式组表示的平面区域的面积为(4－1)2＝9，不等式组表示的平面区域的面积为(4－1)2－×12＝，因此所求的概率为＝，选D.[答案]D2．(2018·昆明三中、玉溪一中统考)已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.B.C.D.[解析]以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB＋PC＝PD，因为PB＋PC＋2PA＝0，所以PB＋PC＝－2PA，得PD＝－2PA，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝，故选D.[答案]D3．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其...
