充分条件与必要条件教材点拨一、充分条件命题的条件和结论是构成命题的两个部分，并且条件和结论可以互相转化。当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题为真命题时，可以说由此条件能推出结论。所以一个命题从条件和结论的角度看，条件与结论有着一定的关系，即：由条件能否推出结论？如果由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条件就叫结论的充分条件。物理模型的直观解释：如图1-2-1电路图，当开关A闭合时，灯泡B亮，而当灯泡B亮时，开关A却不一定是闭合的；即要使灯泡B亮，只要开关A闭合着一个条件就够了，我们就称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分条件。一般地，“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作，那么，就称条件是结论的充分条件（sufficientcondition）。“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作，那么，就称是的充分条件（sufficientcondition）。例如：①，那么，“”是“”成立的充分条件；②，那么，“”是“”成立的充分条件；③三边对应相等的两个三角形全等：“三边对应相等”是“两个三角形全等”的充分条件；④“”是函数为幂函数的充分条件；警示：充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论，或者要是此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不具备此条件时，结论也有可能成立。例如，当4x时，成立，但是，当时，也可以成立，即时，也成立，所以，4x是216x成立的充分条件，也是成立的充分条件。【例】仿照示例改写下列命题，并判断条件是否为充分条件：示例：若，则，可以改写成：；是充分条件；（1）个位数字是0的自然数能被5整除；（2）对角线相等的四边形是矩形；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）若定义域为的函数为奇函数，则解：（1）个位数字是0的自然数这个自然数能被5整除；是充分条件；（2）四边形的对角线相等这个四边形是矩形；不是充分条件；（3）两条直线与同一平面所成的角相等这两条直线平行；不是充分条件；（4）定义域为的函数为奇函数；是充分条件。用心爱心专心图1-1×BAC点拨:本例还是练习命题的条件和结论，同时判断此命题的真假，由命题的真假可以判断条件是否为充分条件，当命题为真时，条件是充分条件；当命题为假时，条件不是充分条件。针对性练习：下列各题中，哪些是的充分条件：（1）：0,n且11n，：；（2）：5xy，：223710xyxy；（3）：，：220ab；（4）：直线∥平面，，：∥。解：（1）是的充分条件；（2）是的充分条件；（3）不是的充分条件；（4）不是的充分条件；点拨：可以用两种方法判断：（一）判断命题的真假，如（4）是命题如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都平行，是假命题；（二）由：（1）因为且所以，即；（2）由5xy得：代入得：=右边；（3）观察，式子的正负是由和两个式子的符号确定的，不能由一个式子的符号确定。二、必要条件如图1-2电路图，当开关A闭合时，灯泡B不一定亮，但是当开关A不闭合时，灯泡B一定不亮；当灯泡B亮时，可以知道开关A一定是闭合的；所以要使灯泡B亮，开关A必须是闭合的，我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件。一般地，“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作“”那么，结论是条件的必要条件（necessarycondition）。“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作“qp”，那么，就称是的必要条件（necessarycondition）。警示：由必要条件的定义可以看出，必要条件与充分条件是一个真命题的两种说法：①真命题的条件是充分条件，②真命题的结论是条件的必要条件，即如果此结论不成立，那么条件也就不成立。假命题的条件不是命题结论成立的充分条件，但是有可能是必要条件，例如，命题：“若：，则：”是假命题，p不是的充分条件；由，所以是q的必要条件。【例】已知命题“若：1m，则：无实数根”，试判断是的什么条件？是的什么条件？用心爱心专心B×AC图1-2解：是的充分条件，不是必要条件，是的必要...
