专题12平面向量的概念及其线性运算一、本专题要特别小心：1.向量加减的几何意义2.向量共线的问题3.零向量问题4.向量夹角为锐角和钝角问题5.基本定理的两条路径法表示向量6.向量共线与三点共线的区别与联系7.向量的模与夹角的运算及应用问题8.平行与垂直问题二．【学习目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．三．【方法总结】1.向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理.(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义.2.向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.四．【题型方法】（一）向量共线与三点共线例1．下列说法正确的是（）A．若，则、的长度相等且方向相同或相反B．若向量、满足，且与同向，则C．若，则与可能是共线向量D．若非零向量与平行，则、、、四点共线【答案】C【解析】对于A选项，模相等的向量，方向不一定相同或者相反，也可能垂直，或者成其它的角度，故A选项错误.对于B选项，向量不能用大于或者小于号相连，向量的模可以比较大小，故B选项错误.对于C选项，不相等的向量可以共线，故C选项正确.对于D选项，平行向量不一定是共线的，故B选项错误.综上所述，本小题选C.练习1．下列说法中正确的是（）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，，必有D．若，满足且与同向，则【答案】C【解析】对于A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误，对于B,平行向量就是共线向量，对于C,若，同向共线，，若，反向共线，，若，不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知，综上可知对于任意向量，，必有正确，对于D,两个向量不能比较大小，故错误.故选C.练习2．设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数，使得，说明向量共线，当同向时，成立，当反向时，不成立，所以，充分性不成立.当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.故选：B.练习3.下列命题正确的是()A．与共线，与共线，则与也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C．向量与不共线，则与都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行【答案】C【解析】由于零向量与任意向量都共线，所以当是零向量时，与不一定共线，故A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时不能构成四边形，所以不可能是一个平行四边形的四个顶点，故B不正确；零向量与任意向量都共线，故C正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，故D不正确.故选C.练习4．下列说法正确的个数为()（1）共线的两个单位向量相等；（2）相等向量的起点相同；（3）若，则一定有直线；（4）若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上．A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】(1)错，共线的两个单位向量的方向可能相反；(2)错，相等向量的起点和终点都可能不相同；(3)错，直线与可能重合；(4)错，与可能平行，则四点不共线.故选A.（二）向量的模例2.向量的夹角为，，，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】又本题正确选项：练习1.对于任意向量，，下列命题中正确的是（）A．如果，满足，且与同向，则B．C．D．【答案】B【解析】选项A中，向量不能进行比较大小，所以错误；选项B中，两边平...
