11.4.1直线与平面垂直关键能力·素养形成类型一直线与直线所成的角【典例】1.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则B1D与CC1所成角的正切值为________.2.已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.世纪【思维·引】1.利用线线角的定义,平移直线找到两条相交直线所成的角,再求出正切值即可.2.选择恰当的点分别作AB和CD的平行线,同时找到直线AB与CD所成的角、直线AB和MN所成的角.【解析】1.如图,B1D与CC1所成的角为∠BB1D.因为△DBB1为直角三角形,所以tan∠BB1D==.答案:2.如图,取AC的中点P,连接PM,PN,因为点M,N分别是BC,AD的中点,所以PM∥AB,且PM=AB;PN∥CD,且PN=CD,所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角.所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角.因为直线AB与CD成60°角,所以∠MPN=60°或∠MPN=120°.又因为AB=CD,所以PM=PN,①若∠MPN=60°,则△PMN是等边三角形,所以∠PMN=60°,即AB与MN所成的角为60°.②若∠MPN=120°,则易知△PMN是等腰三角形.所以∠PMN=30°,即AB与MN所成的角为30°.综上可知:AB与MN所成角为60°或30°.【内化·悟】1.两条直线所成角的依据是什么?提示:两条直线所成角的依据是等角定理以及两直线所成角的定义.2.空间中直线与直线垂直有哪两种情况?证明方法有何不同?提示:(1)相交垂直.利用等腰三角形三线合一的性质、菱形对角线垂直、勾股定理逆定理等方法证明.(2)异面垂直.通常转化为证明线面垂直.【类题·通】1.求两异面直线所成的角的一般步骤:(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角.(2)证:证明作出的角就是要求的角.(3)计算:求角的值,常利用解直角三角形.可用“一作二证三计算”来概括.2.需要关注的问题因为异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°,所以平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角,要注意识别这种情况.【习练·破】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,则异面直线EF与B1D1所成的角为________.【解析】连接BC1,AD1,AB1,可知EF为△BCC1的中位线,所以EF∥BC1.又因为ABCDC1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形.所以BC1∥AD1.所以EF∥AD1.所以∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角.在△AB1D1中,易知AB1=B1D1=AD1,所以△AB1D1为正三角形,所以∠AD1B1=60°.所以EF与B1D1所成的角为60°.答案:60°类型二直线与平面垂直的判定与性质角度1直线与平面垂直的判定【典例】1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC2.(2018·全国卷Ⅱ改编)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.证明:PO⊥平面ABC.世纪【思维·引】1.利用线面垂直的判定定理,由线线垂直,证明线面垂直.2.OP⊥AC是比较明显的,所以关键是证明OP⊥OB,可考虑用勾股定理的逆定理.【解析】1.选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2.因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.连接OB.因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,知PO⊥平面ABC.【素养·探】在与线面垂直判定定理的应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究线线垂直、线面垂直的判定,体会线线垂直和线面垂直的相互转化.将本例2三棱锥满足的条件改为PA⊥BC,PC⊥AB,求证:PB⊥AC.【证明】过P作PO⊥平面ABC于O,连接OA,OB,OC.因为PO⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PO⊥BC.又因为PA⊥BC,PA∩PO=P,所以BC⊥平面PAO.又因为OA⊂平面PAO,所以BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.所以O是△ABC的垂心.所以OB⊥AC.又因为PO⊥AC,PO∩OB=O,所以AC⊥平面PBO.又PB⊂平面PBO,所以PB⊥AC.角度2直线与平面垂直的性质【典例】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.世纪【思维·引】证明EF与BD1都与平面AB1C垂直.【证明】连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC.又因为AC⊥BD,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥A1D,且A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又因为EF⊥AC,AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C...
