高难拉分攻坚特训(三)1．若函数f(x)＝ax－x2－lnx存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln2，则a的取值范围为()A．[2，＋∞)B．[2，＋∞)C．[2，＋∞)D．[4，＋∞)答案C解析f′(x)＝a－2x－＝－，因为f(x)存在极值，所以f′(x)＝0在(0，＋∞)上有根，即2x2－ax＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a2－8≥0，显然当Δ＝0时，f(x)无极值，不符合题意，所以Δ＝a2－8>0，即a>2或a<－2.记方程2x2－ax＋1＝0的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1x2＝，x1＋x2＝，易知a>0，则f(x1)，f(x2)为f(x)的极值，所以f(x1)＋f(x2)＝(ax1－x－lnx1)＋(ax2－x－lnx2)＝a(x1＋x2)－(x＋x)－(lnx1＋lnx2)＝－＋ln2≥4＋ln2，所以a≥2.综上，a的取值范围为[2，＋∞)，选C.2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)(acosB＋bcosA)＝abc，若a＋b＝2，则c的取值范围为________．答案[1,2)解析由sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinC及正弦定理，可知acosB＋bcosA＝c，则由(a2＋b2－c2)·(acosB＋bcosA)＝abc，得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理可得cosC＝，则C＝，B＝－A，由正弦定理＝＝，得＝＝，又a＋b＝2，所以＋＝2，即c＝＝，因为A∈，所以A＋∈，sin∈，则c∈[1，2)．3．已知圆C：x2＋y2－2x＝0，圆P在y轴的右侧且与y轴相切，与圆C外切．(1)求圆心P的轨迹Γ的方程；(2)过点M(2,0)，且斜率为k(k≠0)的直线l与Γ交于A，B两点，点N与点M关于y轴对称，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，是否存在常数m，使得＋－为定值？若存在，求出该常数m与定值；若不存在，请说明理由．解(1)圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，则圆心C(1，0)，半径r＝1.设圆心P的坐标为(x，y)(x>0)，圆P的半径为R，由题意可得所以|PC|＝x＋1，即＝x＋1，整理得y2＝4x.所以圆心P的轨迹Γ的方程为y2＝4x(x>0)．(2)由已知，直线l的方程为y＝k(x－2)，不妨设t＝，则直线l的方程为y＝(x－2)，即x＝ty＋2.联立，得消去x，得y2－4ty－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为点M(2,0)与点N关于y轴对称，所以N(－2,0)，故k1＝，所以＝＝＝t＋，同理，得＝t＋，所以＋－＝2＋2－＝2t2＋8t×＋16×－mt2＝2t2＋8t×＋16×－mt2＝2t2＋8t×＋16×－mt2＝2t2＋4－mt2＝(2－m)t2＋4，要使该式为定值，则需2－m＝0，即m＝2，此时定值为4.所以存在常数m＝2，使得＋－为定值，且定值为4.4．已知函数f(x)＝xlnx－x，g(x)＝x2－ax(a∈R)．(1)若f(x)和g(x)在(0，＋∞)有相同的单调区间，求a的取值范围；(2)令h(x)＝f(x)－g(x)－ax(a∈R)，若h(x)在定义域内有两个不同的极值点．①求a的取值范围；②设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1·x2＞e2.解(1)f(x)＝xlnx－x，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx，即f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．g(x)＝x2－ax＝(x2－2x)，对称轴为x＝1，若在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g(x)开口向上，∴a>0，∴a的取值范围为(0，＋∞)．(2)①依题意，函数h(x)的定义域为(0，＋∞)，h′(x)＝lnx－ax，所以h′(x)＝0在(0，＋∞)有两个不同根，即方程lnx－ax＝0在(0，＋∞)有两个不同根，转化为y1＝lnx与y2＝ax的图象在(0，＋∞)上有两个不同交点，如图可见，若令过原点且切于函数y1＝lnx图象的直线斜率为k，只需0
x2，作差得ln＝a(x1－x2)，即a＝，原不等式x1·x2>e2等价于lnx1＋lnx2>2⇔a(x1＋x2)>2⇔ln>，令＝t，则t>1.ln>⇔lnt>，设F(t)＝lnt－，t>1.F′(t)＝>0，∴F(t)在(1，＋∞)上单调递增，∴F(t)>F(1)＝0，即不等式lnt>成立，故不等式x1·x2>e2成立．
