第三节等比数列时间：45分钟分值：100分一、选择题1．(2014·北京卷)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.答案D2．各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝()A．33B．72C．84D．189解析 a1＋a2＋a3＝21，∴a1＋a1·q＋a1·q2＝21,3＋3×q＋3×q2＝21，即1＋q＋q2＝7，解得q＝2或q＝－3. an>0，∴q＝2，a3＋a4＋a5＝21×q2＝21×4＝84.答案C3．已知等比数列{an}满足an>0(n∈N*)，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1等于()A．(n＋1)2B．n2C．n(2n－1)D．(n－1)2解析由等比数列的性质可知a5a2n－5＝a，又a5a2n－5＝22n，所以an＝2n.又log2a2n－1＝log222n－1＝2n－1，所以log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2.答案B4．已知等比数列{an}的前n项积记为Πn，若a3a4a8＝8，则Π9＝()A．512B．256C．81D．16解析由题意可知a3a4a7q＝a3a7a4q＝a3a7a5＝aa5＝a＝8.Π9＝a1a2a3…a9＝(a1a9)(a2a8)(a3a7)·(a4a6)a5＝a，所以Π9＝83＝512，故选A.答案A5．(2014·大纲全国卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．64解析 S2＝3，S4＝15，∴由等比数列前n项和的性质，得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63，故选C.1答案C6．(2015·浙江嘉兴月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列一定成立的是()A．若a3>0，则a2013<0B．若a4>0，则a2014<0C．若a3>0，则S2013>0D．若a4>0，则S2014>0解析若a3>0，则a2013＝a3q2010>0；若a4>0，则a2014＝a4q2010>0，故A，B错；当a3>0，则a1＝>0，因为1－q与1－q2013同号，所以S2013＝>0，C正确．故选C.答案C二、填空题7．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.解析a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根且{an}是递增数列，故a3＝4，a1＝1，故公比q＝2，S6＝＝63.答案638．(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析因为{an}是等比数列，所以由已知可得a10a11＝a9a12＝a1a20＝e5，于是lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2a3…a20)，而a1a2a3…a20＝(a1a20)10＝(e5)10＝e50，∴lna1＋lna2＋…＋lna20＝lne50＝50.答案509．(2014·安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.解析由题意知数列{an}是以首项a1＝2，公比q＝的等比数列，∴a7＝a1·q6＝2×6＝.答案三、解答题10．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a4＋6，且a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋1，求数列{bn}的前n项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．因为S3＝a4＋6，所以3a1＋＝a1＋3d＋6.所以a1＝3.2因为a1，a4，a13成等比数列，所以a1(a1＋12d)＝(a1＋3d)2，即3(3＋12d)＝(3＋3d)2.解得d＝2.所以an＝2n＋1.(2)由题意bn＝22n＋1＋1，设数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝22n＋1，＝＝4(n∈N*)，所以数列{cn}为以8为首项，4为公比的等比数列．所以Tn＝＋n＝＋n.11．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列；(3)若cn＝an·bn，求证：cn＋1
