天津市南开中学2015届高考数学概率、随机变量分布列练习（含解析）一、1.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．解记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛．A＝A3·A4＋B3·B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.2.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间/分12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)法一X所有可能的取值为0,1,2.1X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.二、超几何分布：1.袋中装有4个白棋子,3个黑棋子,从袋中随机地取出棋子,若取到一个白棋子得2分,取到一个黑棋子得1分,现从袋中任取4个棋子.(1)求得分的分布列；（2）求得分大于6的概率.解：（1）袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分为5,6,7,8.由题意知，取到的白棋子数服从参数为的超几何分布，故得分也服从该超几何分布.所以的分布列为2（2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为2.甲、乙两人参加某选拔考试，本次选拔考试采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.(1)求甲答对试题数的概率分布；（2）求甲、乙两人至少一人入选的概率.解：（1）甲答对试题数的可能取值为0,1,2,3，则其分布列为：（2）法一：设甲、乙、两人考试合格的事件分别为则，因为事件相互独立，所以甲、乙两人考试不合格的概率为所以甲、乙两人至少有一人合格的概率为法二：甲、乙两人至少有一人合格的概率为三、：1.设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为.（...
