高中数学竞赛讲义-同余 新人教A 版VIP专享VIP免费

§27同余1．设m是一个给定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，则称a与b对模同余，记作)(modmba，否则，就说a与b对模m不同余，记作)(modmba，显然，)(|)(,)(modbamZkbkmamba；每一个整数a恰与1，2，……，m，这m个数中的某一个同余；2.同余的性质：1).反身性：)(modmaa；2).对称性：)(mod)(modmabmba；3).若)(modmba，)(modmcb则)(modmca;4).若)(mod11mba，)(mod22mba，则)(mod2121mbbaa特别是)(mod)(modmkbkamba；5).若)(mod11mba，)(mod22mba，则)(mod2121mbbaa；特别是)(mod),(modmbkakZkmba则)(mod),(modmbaNnmbann则；6).)(mod)(macabcba；7).若)(mod1),(),(modmbamcmbcac时，则当)(mod)(mod).(mod),(mbamcbcacdmbadmc特别地，时，当；8).若)(mod1mba，)(mod2mba)(mod3mba………………)(modnmba，且)(mod],,[21MbammmMn，则例题讲解1．证明：完全平方数模4同余于0或1；2．证明对于任何整数0k,153261616kkk能被7整除；用心爱心专心13．试判断282726197319721971能被3整除吗？4．能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为4321SSSS，，，，且满足；＝，＝，，＝101010342312SSSSSS5．在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和，能被11整除的数组共有多少组。6．设nnnnnaxaxaxaxaxf1122110)(是整系数多项式，证明：若没有整数根；整除，则都不能被)(1992)1992(,),1(),0(xffff7．试求出一切可使12nn被3整除的自然数n；8．在每张卡片上各写出11111到99999的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的444445位数不可能是2的幂；9．设,,,21naaa是任意一个具有性质)1(,1kaakk的正整数的无穷数列，求证可以把这个数列的无穷多个ma用适当的正整数)(,,qpayaxayxqpm表示为用心爱心专心2例题答案：1．证明：;,122Zkknknn或者是任一整数，则设);4(mod04222knkn时，当);4(mod1)121222knkn（时，当所以原命题成立；1533221532.266661616kkkkkkMM证：令)7(mod0)7)(mod1132(1173732721)122327()11047(3)197(21156257293642CBAkkkkkk,,0Zkk且对于153261616kkk都能被7整除；注：Zkbabak),(mod1)(mod1整除；不能被又即：解：3197319721971)3(mod2)21(),3(mod142)3)(mod21(197319721971)3)(mod210(197319721971)3(mod21973),3(mod11972),3(mod01971.328272628142828282726282726282726不能这样分组；产生矛盾，又＝解：依题意可知：)4(mod219819902198119801980321)4(mod0604302010.4111114321TSTSSSSSSSST组：，则满足条件的数组有时，相邻项之和，且当是数列由于由此可得：、、、、、、、、、除的余数依次为：它们被、、、、、、、，、依次为，并记解：记数列各对应项为7313|11)11(mod}{)11(mod)11(mod),11(mod),11(mod)11(mod125236125111177134104795839231351,,,10,2,1,.5973821041102121jkjkijkkkiSSSSaSSSSSSSSSSSSSaaaSia用心爱心专心3没有整数根产生矛盾，、、、、、、、、又则整除，不能被由题意，且有整数根证：假设)()()()(|1992321),1992(mod0321),1992(mod)1992(mod)()()()()()()()(,0)(1992)(19920),1992(mod)(.611110xfrfmfrfnirmnirmrmmramramramfrfrfmfrfmfrfrrmmxfiiiinnnnn整除；能被时，，由上可知当且仅当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当，则及考虑到，则解：若322616)3(mod02)66(2)210(66)3(mod1)13()160326(2)56(2)210(56)3(mod1)13()6496(2)46(2)210(46)3(mod02)36(2)210(36...