§27同余1.设m是一个给定的正整数,如果两个整数a与b用m除所得的余数相同,则称a与b对模同余,记作)(modmba,否则,就说a与b对模m不同余,记作)(modmba,显然,)(|)(,)(modbamZkbkmamba;每一个整数a恰与1,2,……,m,这m个数中的某一个同余;2.同余的性质:1).反身性:)(modmaa;2).对称性:)(mod)(modmabmba;3).若)(modmba,)(modmcb则)(modmca;4).若)(mod11mba,)(mod22mba,则)(mod2121mbbaa特别是)(mod)(modmkbkamba;5).若)(mod11mba,)(mod22mba,则)(mod2121mbbaa;特别是)(mod),(modmbkakZkmba则)(mod),(modmbaNnmbann则;6).)(mod)(macabcba;7).若)(mod1),(),(modmbamcmbcac时,则当)(mod)(mod).(mod),(mbamcbcacdmbadmc特别地,时,当;8).若)(mod1mba,)(mod2mba)(mod3mba………………)(modnmba,且)(mod],,[21MbammmMn,则例题讲解1.证明:完全平方数模4同余于0或1;2.证明对于任何整数0k,153261616kkk能被7整除;用心爱心专心13.试判断282726197319721971能被3整除吗?4.能否把1,2,……,1980这1980个数分成四组,令每组数之和为4321SSSS,,,,且满足;=,=,,=101010342312SSSSSS5.在已知数列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,相邻若干数之和,能被11整除的数组共有多少组。6.设nnnnnaxaxaxaxaxf1122110)(是整系数多项式,证明:若没有整数根;整除,则都不能被)(1992)1992(,),1(),0(xffff7.试求出一切可使12nn被3整除的自然数n;8.在每张卡片上各写出11111到99999的五位数,然后把这些卡片按任意顺序排成一列,证明所得到的444445位数不可能是2的幂;9.设,,,21naaa是任意一个具有性质)1(,1kaakk的正整数的无穷数列,求证可以把这个数列的无穷多个ma用适当的正整数)(,,qpayaxayxqpm表示为用心爱心专心2例题答案:1.证明:;,122Zkknknn或者是任一整数,则设);4(mod04222knkn时,当);4(mod1)121222knkn(时,当所以原命题成立;1533221532.266661616kkkkkkMM证:令)7(mod0)7)(mod1132(1173732721)122327()11047(3)197(21156257293642CBAkkkkkk,,0Zkk且对于153261616kkk都能被7整除;注:Zkbabak),(mod1)(mod1整除;不能被又即:解:3197319721971)3(mod2)21(),3(mod142)3)(mod21(197319721971)3)(mod210(197319721971)3(mod21973),3(mod11972),3(mod01971.328272628142828282726282726282726不能这样分组;产生矛盾,又=解:依题意可知:)4(mod219819902198119801980321)4(mod0604302010.4111114321TSTSSSSSSSST组:,则满足条件的数组有时,相邻项之和,且当是数列由于由此可得:、、、、、、、、、除的余数依次为:它们被、、、、、、、,、依次为,并记解:记数列各对应项为7313|11)11(mod}{)11(mod)11(mod),11(mod),11(mod)11(mod125236125111177134104795839231351,,,10,2,1,.5973821041102121jkjkijkkkiSSSSaSSSSSSSSSSSSSaaaSia用心爱心专心3没有整数根产生矛盾,、、、、、、、、又则整除,不能被由题意,且有整数根证:假设)()()()(|1992321),1992(mod0321),1992(mod)1992(mod)()()()()()()()(,0)(1992)(19920),1992(mod)(.611110xfrfmfrfnirmnirmrmmramramramfrfrfmfrfmfrfrrmmxfiiiinnnnn整除;能被时,,由上可知当且仅当、、、时,当、、、时,当、、、时,当、、、时,当、、、时,当、、、时,当,则及考虑到,则解:若322616)3(mod02)66(2)210(66)3(mod1)13()160326(2)56(2)210(56)3(mod1)13()6496(2)46(2)210(46)3(mod02)36(2)210(36...