2.2.3抛物线的简单性质（2）一、选择题1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)，选C.答案：C2．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有()A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：联立则ax2－kx－b＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝－，x3＝－.则－＝·，即x1x2＝(x1＋x2)x3，选项B正确．答案：B3．设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为()A.B．pC．2pD．无法确定解析：由题意得当AB⊥x轴时，|AB|取最小值，为2p.答案：C4．[2013·大纲全国卷]已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA·MB＝0，则k＝()A.B.C.D.2解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为MA·MB＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.答案：D二、填空题5．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为__________．解析：由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B代入抛物线方程得①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．1又y1＋y2＝4，∴＝＝1.∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.答案：y＝x6．若直线y＝2x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得整理得4x2－16x＋9＝0，由根与系数之间的关系知x1＋x2＝4，y1＋y2＝2(x1＋x2)－6＝2，所以线段AB的中点坐标为(2,1)．答案：(2,1)7．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则b的值为__________．解析：由得x2－2x－2b＝0，设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．答案：2三、解答题8．若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.证明：由消去y，得x2－12x＋16＝0.∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.∵OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA⊥OB，即OA⊥OB.9．已知抛物线C1：y2＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得＝，①c＝1，②∴a＝2，c＝1，b＝，∴椭圆方程为＋＝1.(2)①若直线l的斜率不存在，则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，∴|AB|＝4.又∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|.∴直线l的斜率必存在．②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，2由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0，且k≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得x1＋x2＝，x1x2＝1.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝＝＝，∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，∴由＝6，解得k＝±.故所求直线l的方程为y＝±(x－1)．3
