3三个正数的算术-几何平均不等式[课时作业][A组基础巩固]1．设x，y，z>0且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)解析： lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)，而xyz≤3＝23，∴lgx＋lgy＋lgz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．答案：B2．函数y＝x2·(1－5x)(0≤x≤)的最大值为()A.B.C.D.解析： 0≤x≤，∴1－5x≥0，∴y＝x2·(1－5x)＝[x·x·(1－5x)]≤[]3＝.当且仅当x＝1－5x，即x＝时取“＝”，故选A.答案：A3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式正确的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥πD．V≤π解析：如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R＋2h＝6，即2R＋h＝3.V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤π3＝π，当且仅当R＝R＝h＝1时取等号．答案：B4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝··，则必有()A．0≤M0，∴y＝2＋x＋＝2＋(x＋)≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答案：C6．若x>0，则函数y＝4x2＋的最小值是________．解析： x>0，1∴y＝4x2＋＝4x2＋＋≥3＝3.当且仅当4x2＝(x>0)，即x＝时，取“＝”，∴当x＝时，y＝4x2＋(x>0)的最小值为3.答案：37．若a>2，b>3，则a＋b＋的最小值为________．解析： a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0，∴a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝3＋5＝8(当且仅当a＝3，b＝4时等号成立)．答案：88．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．解析：设底面边长为x，高为h，则x2·h＝V，所以h＝，又S表＝2·x2＋3xh＝x2＋3x·＝x2＋＝＝≥×3＝3×，当且仅当x2＝，即x＝时，S表最小．答案：9．已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3.证明：因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，所以2x＋≥2y＋3.10．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．解析：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，由图可有2h＋x＝，2∴h＝(1－x)，V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··(1－x)＝2××××(1－x)≤9×3＝.当且仅当＝＝1－x，即x＝时，等号成立．所以当底面边长为时，正六棱柱容器的容积最大，为.[B组能力提升]1．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则()A．x≤y≤zB．y≤x≤zC．y≤z≤xD．z≤y≤x解析： a，b，c∈R＋，∴≥，∴x≥y，又x2＝，z2＝， a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.答案：B2．若实数x，y满足xy>0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()A．1B．2C．3D．4解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝3＝3＝3.答案：C3．设x∈，则函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________．解析： y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8()3＝8×＝，∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝时，等号成立．∴ymax＝.答案：4．设正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．解析： a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，∴(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9.∴(＋＋)·[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥3··3＝9.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．即＋＋≥1.故＋＋的最小值为1.答案：15．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.证明：因为a，b，c为正实数，由算术—几何平均不等式可得＋＋≥3，3即＋＋≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．所以＋＋＋abc≥＋abc.而＋abc≥2＝2(当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立)，所以＋＋＋abc≥2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．6．已知某轮船速度为每小时1...
