高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）椭圆方程及性质的应用练习（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

第2课时椭圆方程及性质的应用[A基础达标]1．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是()A．B．C．D．解析：选A．最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是.2．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A．B．C．∪D．∪解析：选C．由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线和椭圆有两个公共点．故选C．3．(2019·安庆高二检测)已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0C．4x＋2y－3＝0D．4x－2y－1＝0解析：选B．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点A，B在椭圆上，所以＋x＝1，①＋x＝1.②①－②，得＋(x1＋x2)(x1－x2)＝0.③因为P是线段AB的中点，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9.故直线AB的方程为y－＝－9，整理得9x＋y－5＝0.4．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为()A．1B．－1C．－D．以上都不对解析：选C．设＝k，则y＝k(x－2)．由消去y，整理得(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，解得k＝±，所以kmin＝－.选C．5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若FA＝3FB，则|AF|＝()A．B．2C．D．3解析：选A．设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1，知a2＝2，b2＝1，1所以c2＝1，即c＝1，所以右焦点F(1，0)．由FA＝3FB，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．所以1＝3(x0－1)且n＝3y0.所以x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.解得n2＝1，所以|AF|＝＝＝.6．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________．解析：因为|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝＝，所以|PF2|＝4－＝.答案：7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．解析：将椭圆与直线方程联立：解得交点A(0，－2)，B.设右焦点为F，则S△OAB＝·|OF|·|y1－y2|＝×1×＝.答案：8．已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0)．如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为________．解析：焦点在x轴上，由题意知，M.又因为点M在y＝x上，所以＝，解得m＝2，所以e＝＝＝.答案：9．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0，4)代入C的方程得＝1，所以b＝4.又e＝＝，得＝，即1－＝，所以a＝5，所以C的方程为＋＝1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，所以AB的中点坐标x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为.10．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝2PB.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方2程联立，得则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0.由根与系数的关系知，又由AP＝2PB，即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，得－x1＝2x2，故可得＝－2，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不符合题意，所以k2＝>0，解得0，解不等式