专题强化训练(三)空间向量与立体几何(教师用书独具)(建议用时：60分钟)一、选择题1．如图，在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A．EB＋BF＋EH＋GH＝0B．EB＋FC＋EH＋GE＝0C．EF＋FG＋EH＋GH＝0D．EF－FB＋CG＋GH＝0B[EB＋FC＝EB＋BF＝EF，EH＋GE＝GH，易证四边形EFGH为平行四边形，故EF＋GH＝0，故选B．]2．已知a＝(1,2,3)，b＝(2,1,2)，c＝(1,1,2)，且向量p∥c，则当(p－a)·(p－b)取得最小值时，向量p的坐标为()A．B．C．D．C[设p＝λc，则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2,2λ－3)，p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1,2λ－2)，所以(p－a)·(p－b)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2，所以当λ＝时，(p－a)·(p－b)取得最小值，此时p＝λc＝，故选C．]3．已知平面α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β．其中正确的是()A．①③B．①④C．②③D．②④A[由平面的法向量的定义知，①③正确．]4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A．B．C．D．B[y轴的一个方向向量s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是．]5．如图，已知E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC的中点，设α为二面角D1AED的平面角，则cosα＝()A．B．C．D．A[以A为坐标原点，AB，AD，AA1的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，令正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，所以AE＝(2,1,0)，AD1＝(0,2,2)，设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，则由，得，令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝(1，－2,2)．又AA1＝(0,0,2)为平面AED的一个法向量，α为二面角D1AED的平面角，所以cosα＝＝，故选A．]二、填空题6．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y＝________．1或－3[由a＝(2,4，x)且|a|＝6，得6＝，x＝±4，由a⊥b，得4＋4y＋2x＝0，得或，则x＋y＝1或－3．]7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)，B(2,1，)，则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．[设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，AB＝(1,3,)，所以cos〈n，AB〉＝＝，因为〈n，AB〉∈[0，π]，所以sin〈n，AB〉＝＝．]8．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________．[设H(x，y，z)，则OH＝(x，y，z)，BH＝(x，y－1，z－1)，OA＝(－1,1,0)．因为BH⊥OA，所以BH·OA＝0，即－x＋y－1＝0①，又点H在直线OA上，所以OA＝λOH，即②，联立①②解得所以点H的坐标为．]三、解答题9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．[解]在棱C1D1上存在点F，当F为C1D1的中点时，B1F∥平面A1BE．证明如下：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，∴BE＝(－2,2,1)，BA1＝(－2,0,2)．设平面A1BE的法向量为m＝(x，y，z)，则m·BE＝－2x＋2y＋z＝0，且m·BA1＝－2x＋2z＝0，取x＝1，则z＝1，y＝，∴m＝是平面A1BE的一个法向量．假设在棱C1D1上存在一点F，使B1F∥平面A1BE，设F(x0,2,2)(0≤x0≤2)，则B1F＝(x0－2,2,0)，则m·B1F＝x0－2＋×2＋1×0＝0，解得x0＝1，∴当F为C1D1的中点时，B1F∥平面A1BE．10．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角AA1DB的余弦值的大小．[解](1)取BC的中点O，连接AO． △ABC为正三角形，∴AO⊥BC． 在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．∴AB1＝(1,2，－)，BD＝(－2,1,0)，BA1＝(－1,2，)． AB1·BD＝－2＋2＋0＝0，AB1·BA1＝－1＋...
