第1课椭圆【考点导读】1.掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2.了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.【基础练习】1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是2.椭圆的离心率为3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是4.已知椭圆的离心率，则的值为5椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为9__【范例导析】例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.解：（1） 椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），由椭圆的定义知，，∴，又 ，∴，1所以，椭圆的标准方程为。（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为， 点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为.②若焦点在y轴上，设方程为， 点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为方法二：设椭圆方程为. 点P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即,又∴，∴椭圆的方程为或.【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中.例2.设椭圆的左焦点、右焦点分别为、，点P在椭圆上，,求证：的面积.2【分析】有关椭圆的焦半径问题用定义解决比较方便.解：设，，则，又，由余弦定理得==，于是=，所以，从而有=【点拨】①解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题,常用正弦定理或余弦定理，并且结合PF1+PF2=2a来求解。②注意解题过程中的整体消元方法.例3.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(,),则=（+6,）,=（－4,）,由已知可得则2+9－18=0,=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴点P的坐标是(,)(2)直线AP的方程是－+6=0.设点M(,0),则M到直线AP的距离是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.椭圆上的点(,)到点M的距离有3,由于－6≤≤6,∴当=时,d取得最小值点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.例4.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）解:（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）解法一：由椭圆方程，得故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.解法二：由椭圆方程，得于是得以下同解一.反馈练习：4例4图1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是3.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍4.若椭圆的离心率,则的值为5.．椭圆的右焦点到直线的距离为6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或7.已知数列的两顶点A、C是椭圆的二个焦点，顶点B在椭圆上，则8.椭圆上的点到直线的最大距离是9.若动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，则x22y的最大值为10.已知点在以坐标轴为对称...
