第4课向量综合应用【考点导读】1
能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合问题
能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用
【基础练习】1
已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为2
已知＝1，＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b,y＝3b－a，则x与y的夹角的余弦值为3
已知平面上三点A、B、C满足＝3,＝4,＝5,则的值等于－254
在△ABC中,角A，B，C的对边依次为a，b，c，且A，B，C依次成等差数列，若·＝－，且b＝,则a+c的值为5
已知是两个互相垂直的单位向量,且,,,则对任意的正实数,的最小值是【范例导析】例1
已知平面向量a＝(，－1)，b＝(,)
(1)若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）；(2)根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间
分析:利用向量知识转化为函数问题求解
解:（1）法一：由题意知x＝(,),y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y故x·y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t
法二： a＝(，－1)，b＝(,),∴
＝2，＝1且a⊥b x⊥y，∴x·y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t1(2)由(1)知：k＝f(t)＝t3－t∴k´＝f´(t)＝t2－,令k´＜0得－1＜t＜1；令k´＞0得t＜－1或t＞1
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1,1)，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）
点拨:第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积
