高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1-2.1.2 求曲线的方程练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.1.2求曲线的方程A级基础巩固一、选择题1．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA＋PB|＝4，则点P的轨迹是()A．线段B．半圆C．圆D．直线解析：以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(－2，0)、B(2，0)．设P(x，y)，则PA＋PB＝2PO＝2(－x，－y)．所以x2＋y2＝4.答案：C2．若点M到两坐标轴的距离的积为2015，则点M的轨迹方程是()A．xy＝2015B．xy＝－2015C．xy＝±2015D．xy＝±2015(x＞0)解析：设M(x，y)，则由题意知：|x|·|y|＝2015，所以xy＝±2015.答案：C3．与点A(－1，0)和点B(1，0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1B．y2＋y2＝1(x≠±1)C．y＝D．x2＋y2＝9(x≠0)答案：B4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4.因为M，N，P不共线，所以x≠±2，所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：D5．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析：由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.设C点的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.答案：B二、填空题6．以(5，0)和(0，5)为端点的线段的方程是__________________．1解析：由截距式可得直线为＋＝1⇒线段方程为x＋y－5＝0(0≤x≤5)．答案：x＋y－5＝0(0≤x≤5)7．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_______．解析：可设动点坐标为(x，y)，则＝1，即|4x＋3y－5|＝5.所以所求轨迹为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.答案：4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝08．已知为A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是__________________________________．解析：设点B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.①设线段AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝，从而得x0＝2x，y0＝2y＋1.代入①式，得2y＋1＝2×(2x)2＋1即y＝4x2.答案：y＝4x2三、解答题9．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4，2)，B(－2，0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．解：设点C的坐标为(x，y)，因为△ABC为等腰三角形，且A为顶点．所以AB＝AC.又因为|AB|＝＝2，所以|AC|＝＝2.所以(x－4)2＋(y－2)2＝40.又因为点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线．所以x≠－2且x≠10.所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝40(x≠－2且x≠10)．10．已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程．解：设点P(x，y)，由M(－1，0)，N(1，0)，得PM＝－MP＝(－1－x，－y)，PN＝－NP＝(1－x，－y)，MN＝－NM＝(2，0)．所以MP·MN＝2(x＋1)，PM·PN＝x2＋y2－1，NM·NP＝2(1－x)．由MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列，得即所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x＞0)．B级能力提升1．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π答案：B2．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_______．解析：(参数法)直线＋＝1与x、y轴交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.因为a≠0，a≠2，所以x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)23．已知B(－3，0)、C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程．解：设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，－3)，当A的坐标为(x，3)时，因为AB⊥CH，所以kAB·kCH＝－1，即·＝－1(x≠±3)．化简，整理，得y＝－x2＋3(x≠±3)．又x＝±3，y＝0时也适合此方程，所以方程y＝－x2＋3为所求轨迹方程．当A的坐标为(x，－3)时，同理可得H的轨迹方程为y＝x2－3.总之，△ABC的垂心H的轨迹方程是y＝－x2＋3或y＝x2－3.3