高二数学2016年联赛初赛模拟训练（4）班级：姓名：一．填空题（每小题7分，共70分）1．设为复数，其中是实数，是虚数单位，且满足的虚部和的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积是．2．设,数列的通项公式是．3．设集合,从集合中随机抽取一个元素,记,则随机变量的数学期望4．若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为____________.5．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6．则二面角P—BD—A的大小为__________．6．设平面向量满足,则的取值范围是7．设是定义在整数集上的函数，满足条件：⑴；⑵对任意的都有，则=___________.18．设为椭圆的左,右焦点,若椭圆上存在一点,使得,则该椭圆的离心率的取值范围是9．已知函数恰有两个极值点,则实数的取值范围是10.若,则正整数的最小值为二．解答题（每题20分，共80分）11．数列满足，.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求.12．（本小题满分18分）已知函数（Ⅰ）若函数上为单调增函数，求的取值范围；（Ⅱ）设213．已知椭圆C:的左右焦点设，与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C上任意一点P做椭圆C的切线与直线的垂线相交于点M，求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP与直线x=-2交于点N，求证：为定值.14．设平面四边形的四边长分别为4个连续的正整数.证明：四边形的面积的最大值不是整数。32016年联赛初赛模拟训练（4）一．填空题（每小题7分，共70分）1．设为复数，其中是实数，是虚数单位，且满足的虚部和的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积是．解：等价于又由于,故满足条件的点集构成了圆的一部分,计算得其面积为．2．设,数列的通项公式是．由和，可得．故．3．设集合,从集合中随机抽取一个元素,记,则随机变量的数学期望44．若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为____________.答案：5．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6．则二面角P—BD—A的大小为__________．答案：60°.6．设平面向量满足,则的取值范围是．．以上等号均可取到．故的取值范围是．7．设是定义在整数集上的函数，满足条件：⑴；⑵对任意的都有，则=___________.答案：-18．设为椭圆的左,右焦点,若椭圆上存在一点,使得,则该椭圆的离心率的取值范围是9．已知函数恰有两个极值点,则实数的取值范围是510.若,则正整数的最小值为二．解答题（每题20分，共80分）11．数列满足，.6（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求.解：（Ⅰ）由已知可得，即，即而累加得，又…………………8分（Ⅱ）由（1）知，，………………16分12．（本小题满分18分）已知函数（Ⅰ）若函数上为单调增函数，求的取值范围；（Ⅱ）设7解析：（I）………………5分因为上为单调增函数，所以上恒成立.故的取值范围是…………10分（II）只需证只需证…………14分由（I）知上是单调增函数，又，所以…………18分13．已知椭圆C:的左右焦点设，与椭圆短轴的一个端点构成边长为48的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C上任意一点P做椭圆C的切线与直线的垂线相交于点M，求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP与直线x=-2交于点N，求证：为定值.解析：（Ⅰ）依题意，2c=a=4，∴c=2，b=；∴椭圆C的标准方程为；……………4分（Ⅱ）设，由（Ⅰ），，设，过椭圆C上过P的切线方程为：，①直线的斜率，则直线的斜率，于是，则直线的方程为：，即，②①②联立，解得x=-8，∴点M的轨迹方程为x=-8.…………………10分（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为、，点N在切线MP上，由①式得，点M在直线上，由②式得，，，∴，③9注意到点P在椭圆C上，即，于是代人③式并整理得，∴的值为定值.……………18分14．设平面四边形的四边长分别为4个连续的正整数.证明：四边形的面积的最大值不是整数。不妨设是凸四边形，其面积为S．记。由，可得，--------------（8分）两遍平方和得等号成立当且仅当，即四点共圆--------------------（16分）现根据假设为四个连续整数由此.显然因此，不是整数----------------------------------------------------(22分)10
