课时作业14抛物线的简单几何性质[基础巩固]一、选择题1．过抛物线C：y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝()A．8B．10C．6D．42．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.B.C.D．33．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于()A.B.C.D.4．若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A．5pB．10pC．11pD．12p5．已知点P在抛物线x2＝4y上，则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A．(2,1)B．(－2,1)C．－1，D．1，二、填空题6．已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________．7．已知抛物线y2＝x，则弦长为定值1的焦点弦有________条．8．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．三、解答题9．已知直线x－2y－1＝0被焦点在y轴上，顶点在原点的抛物线截得的弦长为，求此抛物线的方程．10．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，求△AOB的面积．[能力提升]11．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝()A．5B．6C．7D．812．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．13．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为1P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若AP＝3PB，求|AB|.14．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M0，的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．课时作业14抛物线的简单几何性质1．解析：根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案：A2．解析：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为|4m－3m2－8|5＝－3m－232－2035，故当m＝23时，取得最小值，为43.答案：A3．解析：设P(x1，y1)，由题意得F(1,0)，所以|PF|＝x1＋1＝4⇒x1＝3，所以y1＝23，所以A(－1,23)，所以kAF＝23－0－1－1＝－3，所以倾斜角为2π3.答案：B4．解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p. 直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.答案：B5．解析：根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和最小，只需点P到点Q(1,2)的距离与点P到准线的距离之和最小，过点Q(1,2)作准线的垂线，交抛物线于点P，此时距离之和最小，点P的坐标为1，14.答案：D6．解析：由抛物线定义得：xA＋1＝5，xA＝4，又点A位于第一象限，因此yA＝4，从而kAF＝4－04－1＝43.答案：437．解析：因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a＞2p，则焦点弦存在两条；若a＝2p，则焦点弦存在一条；若a＜2p，则焦点弦不存在．由y2＝12x知p＝14，则通径长2p＝12，因为1＞12，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．答案：28．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝x－22＋y2＝x－22＋x＝x2－3x＋4＝x－322＋74.所以当x＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝72.2答案：729．解析：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，由x2＝ay，x－2y－1＝0消去y，得2x2－ax＋a＝0. 直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.设直线与抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝a2，x1x2＝a2，y1－y2＝12(x1－x2)，∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝54x1－x22＝54[x1＋x22－4x1x2]＝145a2－8a. |AB|＝15，∴145a2－8a＝15，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，∴抛物线方程为x2＝－4y或x2＝12y.10．解析： △A...
