2.1.2椭圆的简单性质（二）[A.基础达标]1．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的线段的中点坐标是()A.B.C.D.解析：选C.设截得线段两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，中点为(x0，y0)，由代入消元整理得3x2＋4x－2＝0，Δ＝42＋4×6>0，x1＋x2＝－，所以x0＝＝－，y0＝x0＋1＝.2．已知直线l过点(3，－1)，椭圆C的方程为＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A．1B．1或2C．2D．0解析：选C.把点(3，－1)代入＋＝1得＋<1，所以点(3，－1)在椭圆内部，故直线l与椭圆有两个公共点．3．已知直线l：x－y＋m＝0与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2＋y2＝内，则m的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．[－，－1]∪[1，]C．[－1，1]D．(－，－1]∪[1，)解析：选D.联立得：3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由Δ>0得m∈(－，)，y1＋y2＝x1＋m＋x2＋m＝，故AB中点坐标为(－，)，因为AB中点不在圆x2＋y2＝内，所以(－)2＋()2≥，即m2≥1，故m∈(－，－1]∪[1，)．4．直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()A.B.－1C.D．4－2解析：选B.设A在y轴左侧，其坐标设为A(x0，－x0)，则B(－x0，x0)，设F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，则c＝|AB|＝＝2|x0|，所以F2(－2x0，0)，F1(2x0，0)，|AF2|＝2|x0|，|AF1|＝2|x0|，因为|AF1|＋|AF2|＝2a，所以a＝(＋1)|x0|，所以e＝＝＝－1.5．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离为()A．3B.C.D．2解析：选C.易判断直线x＋2y－＝0与椭圆＋＝1相交，令与直线x＋2y－＝0平行的直线方程为x＋2y＋C＝0代入＋＝1，化简整理得8y2＋4Cy＋C2－16＝0，则Δ＝16C2－32(C2－16)＝0，C＝±4.由图(图略)可知C＝4.切线x＋2y＋4＝0与直线x＋2y－＝0间的距离为＝.6．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．解析：设M的纵坐标为y0，F1为其左焦点，则F1(－3，0)，可得P(3，2y0)，故＋＝1，解得y0＝±.答案：±7．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为________．解析：由题意知，交点坐标为(b，kb)，代入＋＝1(a>b>0)得＋＝1，所以k2＝1－＝，所以k＝±e＝±.答案：±8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2＝________．解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，y＝b2－，所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，即k1·k2的值为－.答案：－9．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．解：法一：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得，a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而＝－1，＝kOC＝，代入上式可得b＝a.再由|AB|＝·|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，故－4·＝4，1将b＝a代入得a＝，所以b＝，所以所求椭圆的方程是＋＝1.法二：由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝＝·.因为|AB|＝2，所以＝1.①设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝，因为OC的斜率为，所以＝.代入①，得a＝，b＝.所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.10．已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(，1)．(1)求椭圆的方程；(2)已知与圆x2＋y2＝相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，O为坐标原点，求OA·OB的值．解：(1)因为e＝，又椭圆C过点M(，1)，所以解得所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，l：x＝±，则x1＝x2＝±，y1＝－y2，所以OA·OB＝x－y＝0.当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，由于l与圆相切得：＝，所以3m2－8k2－8＝0.将l的方程代入椭圆方程得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝0，综上，OA·OB＝0.[B.能力提升]1．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是()A．[4－2，4＋2]B．[4－，4＋]C．[4－2，4＋2]D...
