高中数学抛物线的几个常见性质及应用 专题辅导VIP免费

高中数学抛物线的几个常见性质及应用专题辅导赵静抛物线除课本上介绍的性质外，它自身还存在着不少的性质，这些性质不仅能优化整个解题过程，同时还能提高同学们的思维及解题能力。本文就抛物线的常用性质应用举例说明。限于篇幅，文中所列的性质就不再证明，留给同学们自己证明。性质一：抛物线标准方程中变量x的范围x≥0例1对于抛物线上任一点Q，点P（a,0）都满足，则a的取值范围是（）A.a<0B.C.D.分析：本题可先设出点Q的坐标（），再表示出|PQ|，然后利用的范围及恒成立的充要条件解答。解：设Q（），由，得，结合，得（）≥0。因为，所以，即恒成立。又由最小值为2，即，故选B。点评：对于圆锥曲线的标准方程的变量范围的应用，一般是通过变量范围构造不等式求解。本题用到了一个充要条件：恒成立，则。性质二：抛物线的标准方程为，它的通径。例2过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与QF的长分别是p、q，则等于（）A.2aB.C.4aD.分析：若按常规思路需分别求出PF与QF的长，其过程较为繁琐，解答选择题时此法不可取。注意到直线PQ的任意性及选择题的特点，将直线PQ考虑为抛物线的通径，则可快速解答。解：因为直线PQ是任意的，所以取最特殊的情况考虑：直线PQ垂直x轴时（也就是“通径”）。此时，则，故选C。点评：某些题中虽然没有直接以“通径”的形式给出，但通过对条件的分析，可以转化为“通径”，再利用“通径”求解，可简化解题的过程。性质三：过焦点F的直线与抛物线（p>0）交于A（），B（），则弦长；若直线的倾斜角为θ，则。例3过抛物线的焦点作倾斜角为α的直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α的大小。分析：用弦长公式比较容易解，但是用上面的性质三则更为简单。解：设直线l的方程为，即将代入抛物线方程，得：用心爱心专心由得，即，解得又由，得点评：解答直线与抛物线的弦长一定要保证直线与抛物线相交，而本题由于直线过的是抛物线的焦点（在抛物线内），直线一定与抛物线相交，因此就不必再用判别式来限制了。性质四：过抛物线（p>0）的顶点任作两条互相垂直的弦OA、OB，则直线AB恒过定点（，0）。例4设点A和B为抛物线（p>0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。分析：抓住条件OA⊥OB，并利用性质四可得直线AB过定点N（4p，0），再由OM⊥AB，结合直线的斜率建立只含有变量x与y的关系，即可得到点M的轨迹方程。解：由性质四得OA⊥OB，可知AB过定点N（4p，0）。于是设M（x，y），当AB与x轴不垂直时，由可知，即，当AB⊥x轴时，点M与点N重合，方程也满足。∴点M的轨迹方程是，它表示以点（2p，0）为圆心，半径长为2p的圆（去掉坐标原点）。点评：本题涉及一个易错点，即容易忽视直线AB与x轴垂直的情况。解答直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一定要考虑直线斜率不存在的情形。用心爱心专心