3.1.3复数的几何意义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵sin2>0，cos2<0，∴复数z对应的点(sin2，cos2)在第四象限．故选D.【答案】D2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1B．a≠2，且a≠1C．a＝0D．a＝2或a＝0【解析】由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.【答案】D3．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量OB对应的复数为()A．－2－iB．－2＋iC．1＋2iD．－1＋2i【解析】因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以OB对应的复数为－2＋i.【答案】B4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是()A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆【解析】由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，∵|z|≥0，∴|z|＝3，∴复数z对应点的轨迹是1个圆．【答案】A5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()【导学号：05410066】A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.【答案】B二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝______.【解析】复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2,3)，所以z2＝－21＋3i.【答案】－2＋3i7．已知在△ABC中，AB，AC对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则BC对应的复数为________．【解析】因为AB，AC对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以AB＝(－1,2)，AC＝(－2，－3)，又BC＝AC－AB＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC对应的复数为－1－5i.【答案】－1－5i8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．【解析】由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4.而|1－5i|＝＝，|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝，∵<5<，∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.【答案】|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|三、解答题9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解】∵复数z对应的点在第一象限．∴解得m<或m>.所以实数m的取值范围为∪.10．已知x，y∈R，若x2＋2x＋(2y＋x)i和3x－(y＋1)i是共轭复数，求复数z＝x＋yi和.【解】若两个复数a＋bi与c＋di共轭，则a＝c，且b＝－d.由此可得到关于x，y的方程组解得或所以或[能力提升]1．已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为()A．1＋iB．2C．(－1,)D．－1＋i【解析】设复数z对应的点为(x，y)，则x＝|z|·cos120°＝2×＝－1，y＝|z|·sin120°＝2×＝，∴复数z对应的点为(－1,)，∴z＝－1＋i.【答案】D2．与x轴同方向的单位向量e1，与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是()A．e1对应实数1，e2对应虚数iB．e1对应虚数i，e2对应虚数i2C．e1对应实数1，e2对应虚数－iD．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i【解析】e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．【答案】A3．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________.【导学号：05410067】【解析】复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝＝13.【答案】134．已知O为坐标原点，OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若OZ1与OZ2共线，求a的值．【解】因为OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i，所以OZ1＝(－3,4)，OZ2＝(2a,1)．因为OZ1与OZ2共线，所以存在实数k使OZ2＝kOZ1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，所以所以即a的值为－.3
