第一章导数及其应用单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),的值为()A.f′(x0)B.2f′(x0)C.-2f′(x0)D.0【解析】选B.=2=2=2f′(x0).【补偿训练】若函数f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为()A.B.0C.钝角D.锐角【解析】选C.f′(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=exsin,f′(4)=e4sin<0,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为钝角.2.设函数y=f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点【解析】选D.令y′=ex+x·ex=(1+x)ex=0,得x=-1,1当x<-1时,y′<0;当x>-1时,y′>0.故x=-1时,y取得极小值.3.(2017·武汉高二检测)已知f(x)=,且f(x-1)的图象的对称中心是(0,3),则f′(2)的值为()A.-B.C.-D.【解析】选B.f(x)=a+1-,中心为(-1,a+1),由f(x-1)的中心为(0,3)知f(x)的中心为(-1,3),所以a=2.所以f(x)=3-.所以f′(x)=.所以f′(2)=.4.已知f(x)=logax(a>1)的导函数是f′(x),记A=f′(a),B=f(a+1)-f(a),C=f′(a+1)则()A.A>B>CB.A>C>BC.B>A>CD.C>B>A【解析】选A.记M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),则由于B=f(a+1)-f(a)=,表示直线MN的斜率;A=f′(a)表示函数f(x)=logax在点M处的切线斜率;C=f′(a+1)表示函数f(x)=logax在点N处的切线斜率.又因为f(x)=logax(a>1)单调递增,所以,A>B>C.5.(2017·郑州高二检测)如图,在正方形OABC内任取一点,取到函数y=的图象与x轴正半轴之间(阴影部分)的点的概率等于()2A.B.C.D.【解析】选B.阴影部分的面积为dx=10=,正方形OABC的面积为1,所以概率为.6.函数f(x)=4x-x4在x∈[-1,2]上的最大值、最小值分别是()A.f(1)与f(-1)B.f(1)与f(2)C.f(-1)与f(2)D.f(2)与f(-1)【解析】选B.f′(x)=4-4x3,由f′(x)>0,得x<1,由f′(x)<0,得x>1,所以f(x)=4x-x4在x=1时取极大值f(1)=3,而f(-1)=-5,f(2)=-8,所以f(x)=4x-x4在[-1,2]上的最大值为f(1),最小值为f(2).【补偿训练】设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()A.-1B.0C.-D.【解析】选C.g(x)=x3-x,由g′(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去).当x变化时,g′(x)与g(x)的变化情况如下表:x01g′(x)-0+3g(x)0↘极小值↗0所以当x=时,g(x)有最小值g=-.7.由直线y=,y=2,曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是()A.2ln2B.2ln2-1C.ln2D.【解析】选A.方法一:由图可知封闭图形的面积为×+dx-×=lnx=ln2-ln=2ln2.方法二:面积为dy=lny=ln2-ln=2ln2.8.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)【解析】选D.因为2x(x-a)<1,所以a>x-.令f(x)=x-,所以f′(x)=1+2-xln2>0.所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0-1=-1,4所以a的取值范围为(-1,+∞).9.已知a≤+lnx对任意x∈恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.3【解析】选A.设f(x)=+lnx=+lnx-1,则f′(x)=-+=.当x∈时,f′(x)<0,故函数f(x)在上单调递减;当x∈(1,2]时,f′(x)>0,故函数f(x)在(1,2]上单调递增.所以f(x)min=f(1)=0.所以a≤0,故a的最大值为0.【补偿训练】函数f(x)=ln-ax在(2,3)上单调递增,则实数a的取值范围是__________.【解析】f′(x)=()′-a=-a≥0在(2,3)上恒成立,即a≤()min,所以>,所以a≤.答案:a≤510.定积分(xcosx+)dx的值等于()A.0B.2πC.4πD.π【解析】选B.(xcosx+)dx=(xcosx)dx+dx=(xsinx+cosx)+π×4=0+2π=2π.11.(2017·全国丙卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-B.C.D.1【解析】选C.由题知f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e1-x),所以f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)的对称轴,由题意知f(x)有唯一的零点,所以零点只能为x=1,即f(1)=-1+2a=0,解出a=.12.(2016·四川高考)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)【解析】选A.由题设知:不妨设P1,P2点的坐标分别为:P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中0
