课时分层作业(六)平面向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为()A．0,0B．1,1C．3,0D．3,4D[因为e1与e2不共线，所以解方程组得x＝3，y＝4.]2．(多选题)已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是()A．{e1＋e2，e1－e2}B．{3e1－2e2,4e2－6e1}C．{e1＋2e2，e2＋2e1}D．{e2，e1＋e2}ACD[ 4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．A、C、D选项均可．]3．在△ABC中，点D在BC边上，且BD＝2DC，设AB＝a，AC＝b，则AD可用基底a，b表示为()A．(a＋b)B．a＋bC．a＋bD．(a＋b)C[因为BD＝2DC，所以BD＝BC.所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.]4．在△ABC中，AE＝AB，EF∥BC，EF交AC于F，设AB＝a，AC＝b，则BF等于()A．－a＋bB．a－bC．a－bD．a＋bA[ AE＝AB，∴BE＝－AB.又 EF∥BC，∴EF＝BC＝(AC－AB)，∴BF＝BE＋EF＝－AB＋(AC－AB)＝AC－AB＝－a＋b.]5．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则()A．BO＝－AB＋ACB．BO＝AB－ACC．BO＝AB－ACD．BO＝－AB＋ACD[如图，D为中点，O为靠近A的三等分点，BO＝BA＋AO＝－AB＋AD＝－AB＋×(AB＋AC)＝－AB＋AB＋AC＝－AB＋AC.]二、填空题6．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.a－b[由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝a＋b，代入①可求得e1＝a－b，所以e1＋e2＝a－b.]7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．2[ 向量a与b共线，∴存在实数λ，使得b＝λa，即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2. e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，∴∴k＝2.]8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[如图，由题意知，D为AB的中点，BE＝BC，所以DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，所以λ1＝－，λ2＝，所以λ1＋λ2＝－＋＝.]三、解答题9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量AM与HF.[解]在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，∴AM＝AD＋DM＝AD＋DC＝AD＋AB＝b＋a，HF＝AF－AH＝AB＋BF－AD＝a＋b－b＝a－b.10．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若OC＝λOE＋μOF，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．[解]在矩形OACB中，OC＝OA＋OB，又OC＝λOE＋μOF＝λ(OA＋AE)＋μ(OB＋BF)＝λ＋μ＝OA＋OB，所以＝1，＝1，所以λ＝μ＝.11．(多选题)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法正确的是()A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对C．若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)D．若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0AD[由平面向量基本定理，可知AD说法正确，B说法不正确．对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C不正确．]12．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心B[为AB上的单位向量，为AC上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线AD的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而OP＝OA＋λ，∴点P在AD上移动，∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]13．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝AB＋AC.则△ABM与△ABC的面积之比为________．1∶4[如图，由AM＝AB＋AC可知M，B，C三点共线，令BM＝λBC，则AM＝AB＋BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC⇒λ＝，所以＝，即△ABM与△AB...
