第3讲平面向量的数量积及应用举例1．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为()A．－7B．－3C．2D．3解析：选D.依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.2．(2019·山西四校联考)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为()A．0B.C.D.解析：选B.(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.故选B.3．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为()A.B．－C．1D．－1解析：选D.依题意得|a|＝1，a·b＝1××cos45°＝1，|d|＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1，选D.4．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，所以2AC·BA＝0，所以AC⊥AB.所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到|AB|＝|AC|.故选C.5．(2019·福建漳州八校联考)在△ABC中，|AB＋AC|＝|AB－AC|，|AB|＝|AC|＝3，则CB·CA的值为()A．3B．－3C．－D.解析：选D.由|AB＋AC|＝|AB－AC|两边平方可得，AB2＋AC2＋2AB·AC＝3(AB2＋AC2－2AB·AC)，即AB2＋AC2＝4AB·AC，又|AB|＝|AC|＝3，所以AB·AC＝，又因为CB＝AB－AC，所以CB·CA＝(AB－AC)·(－AC)＝AC2－AB·AC＝9－＝，故选D.6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析：易知|a＋2b|＝＝＝2.答案：27．(2019·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．解析：因为b在a上的投影为－3，所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为π.答案：π8．(2017·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为________．解析：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.又AB·AC＝3×2×＝3，所以AD·AE＝·(－AB＋λAC)＝－AB2＋AB·AC＋λAC2＝－3＋3＋λ×4＝λ－5＝－4，则λ＝.答案：9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以|b|＝＝5.(2)a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，故x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以cos〈a，b〉＝＝＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b夹角是.10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6.所以cosθ＝＝＝－.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.(3)因为AB与BC的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，所以S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝3.1．已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，AB·AC＝－2，则|AG|的最小值是()A.B.C.D.解析：选C.设BC的中点为M，则AG＝AM.又M为BC中点，所以AM＝(AB＋AC)，所以AG＝AM＝(AB＋AC)，所以|AG|＝.又因为AB·AC＝－2，∠A＝120°，所以|AB||AC|＝4.所以|AG|＝≥＝，当且仅当|AB|＝|AC|时取“＝”，所以|AG|的最小值为，故选C.2．(2019·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|MN|＝，则BM·BN的取值范围为()A.B.C.D.解析：选C.不妨设点M靠近点A，...
